त्रिकोणमिति गणित का एक महत्वपूर्ण शाखा है जो त्रिभुजों और उनके गुणों का अध्ययन करती है। इसका नाम ‘त्रिकोण’ और ‘मिति’ शब्दों से मिलकर बना है, जो त्रिभुजों और उनके गुणों की मापन करता है। त्रिकोणमिति का अध्ययन गणित के विभिन्न क्षेत्रों में उपयोगी है, जैसे ज्योतिष, निर्माण विज्ञान, खगोल विज्ञान, नौटिकल विज्ञान, अविकलन और आदि। इस लेख में हम त्रिकोणमिति के सूत्रों, अवधारणाओं आदि को ध्यान से समझेंगे।
त्रिकोणमिति सूत्र (Trigonometry Formulas)
त्रिकोणमिति सूत्रों का उपयोग कई अलग-अलग प्रकार के मुद्दों के समाधान के लिए किया जा सकता है। इन मुद्दों में पायथागॉरियन पहचान, उत्पाद पहचान, त्रिकोणमितीय अनुपात (sin, cos, tan, sec, cosec, और cot) आदि शामिल हो सकते हैं। ऐसे कुछ सूत्र भी हैं जो सह-फ़ंक्शन पहचान (स्थानांतरण कोण), अनुपात के संकेत का उपयोग करते हैं विभिन्न चतुर्थांश, योग और अंतर सर्वसमिकाएँ, दोहरे कोण सर्वसमिकाएँ, अर्धकोण सर्वसमिकाएँ, आदि।
कक्षा 10, 11 और 12 के छात्र इन त्रिकोणमितीय गणित सूत्रों को सीखकर और याद करके इस विषय में उच्च अंक प्राप्त करने में सक्षम होंगे। उनके आधार पर समस्याओं का उत्तर देने के लिए, वे व्युत्क्रम त्रिकोणमिति सूत्र और त्रिकोणमिति तालिका का पता लगा सकते हैं।
त्रिकोणमिति फलन
त्रिकोणमिति में तत्वों को खोजने के लिए मूलतः 6 अनुपातों का उपयोग किया जाता है। इन्हें त्रिकोणमितीय फलन कहा जाता है। छह त्रिकोणमितीय फलन उपलब्ध हैं: सिन, कॉस, टैन, सेक, कोसेक और कॉट। वर्तमान लंबाई और कोण को त्रिकोणमितीय अनुपात के उपयोग से प्राप्त किया जा सकता है। ये 6 कार्य सभी त्रिकोणमिति सूत्रों, सूत्र युक्तियों और समस्याओं के लिए आधार के रूप में कार्य करते हैं। त्रिकोणमिति की विशिष्टताएँ, जिनमें सूत्र, त्रिकोणमिति सूत्र युक्तियाँ और समस्याएं शामिल हैं, उम्मीदवारों के लिए उपलब्ध हैं।
त्रिकोणमिति से संबंधित प्रश्न एसएससी, रेलवे और अन्य सहित विभिन्न प्रतियोगी परीक्षाओं में पाए जा सकते हैं। आपको इस साइट पर सूत्र त्रिकोणमिति के बारे में नोट्स मिल सकते हैं जो परीक्षाओं के लिए उपयोगी हैं। यह आपको मौलिक त्रिकोणमिति सूत्र सीखने में सहायता करेगा। कक्षा 10 और 11 के लिए त्रिकोणमिति सूत्रों की पूरी सूची, साथ ही कक्षा 12 और 13 के लिए त्रिकोणमिति सूत्रों की पूरी सूची नीचे दी गई है।
अनेक त्रिकोणमितीय पहेलियों को हल करने और यह समझने के लिए कि त्रिभुज की भुजाएँ और कोण एक दूसरे से कैसे संबंधित हैं, त्रिकोणमिति सूत्र आवश्यक हैं। हम यहां कुछ बुनियादी त्रिकोणमितीय सूत्रों के बारे में जानेंगे:
- प्याथागोरस का सिद्धांत: प्याथागोरस का सिद्धांत कहता है कि एक समकोण त्रिभुज में, विपरीत कोण के विपरीत बाहु की लंबाई का वर्ग उस त्रिभुज के दो अन्य बाहुओं के वर्गों के योग के बराबर होता है। गणितीय रूप में, यह निम्नलिखित रूप में दर्शाया जा सकता है: a² + b² = c² यहां a और b त्रिभुज के दोनों पारों की लंबाई हैं, और c त्रिभुज के विपरीत बाहु की लंबाई है।
- त्रिकोणमितिक अनुपात: त्रिकोणमितिक अनुपात त्रिभुज के कोणों को उसके बाहुओं की लंबाइयों से जोड़ते हैं। प्राथमिक त्रिकोणमितिक अनुपात साइन (sin), कोसाइन (cos), और टैंजेंट (tan) होते हैं:
- sin θ = लंब/कर्ण
- cos θ = आधार/कर्ण
- tan θ = लंब/आधार
- sec θ = कर्ण/आधार
- cosec θ = कर्ण/लंब
- cot θ = आधार/लंब
- पूरक त्रिकोणमितिक अनुपात: पूरक त्रिकोणमितिक अनुपात प्राथमिक त्रिकोणमितिक अनुपात से प्राप्त होते हैं और त्रिभुज के कोणों को उसके बाहुओं की लंबाइयों से जोड़ते हैं:
- cosec θ = 1/sin θ
- sec θ = 1/cos θ
- cot θ = 1/tan θ
- sin θ = 1/cosec θ
- cos θ = 1/sec θ
- tan θ = 1/cot θ
कोण के योग और अंतर सूत्र: ये सूत्र दो कोणों के योग या अंतर के त्रिकोणमितिक फ़ंक्शन को एकल कोणों के त्रिकोणमितिक फ़ंक्शन में व्यक्त करते हैं:
- sin(A ± B) = sin(A)cos(B) ± cos(A)sin(B)
- cos(A ± B) = cos(A)cos(B) ∓ sin(A)sin(B)
- tan(A ± B) = (tan(A) ± tan(B))/(1 ∓ tan(A)tan(B))
द्विगुण कोण सूत्र: द्विगुण कोण सूत्र कोण के त्रिकोणमितिक फ़ंक्शन को द्विगुण कर देते हैं:
- sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ)
- cos(2θ) = cos²(θ) – sin²(θ) = 2cos²(θ) – 1 = 1 – 2sin²(θ)
- tan(2θ) = 2tan(θ) / (1 – tan²(θ))
आधा कोण सूत्र: आधा कोण सूत्र एक कोण के त्रिकोणमितिक फ़ंक्शन को आधा उस कोण के त्रिकोणमितिक फ़ंक्शन के साथ रिश्ता स्थापित करते हैं:
- sin(θ/2) = ±√[(1 – cos(θ)) / 2]
- cos(θ/2) = ±√[(1 + cos(θ)) / 2]
- tan(θ/2) = ±√[(1 – cos(θ)) / (1 + cos(θ))]
योग और गुण सूत्र: ये सूत्र त्रिकोणमितिक फ़ंक्शनों के योग या अंतर को योगों में या योगों को गुणों में परिवर्तित करते हैं, और उमर्यादा:
योग से गुण सूत्र:
- sin(A) + sin(B) = 2sin[(A + B)/2]cos[(A – B)/2]
- sin(A) – sin(B) = 2cos[( A + B)/2]sin[(A – B)/2]
- cos(A) + cos(B) = 2cos[(A + B)/2]cos[(A – B)/2]
- cos(A) – cos(B) = -2sin[(A + B)/2]sin[(A – B)/2]
गुण से योग सूत्र:
- sin(A)sin(B) = (1/2)[cos(A – B) – cos(A + B)]
- cos(A)cos(B) = (1/2)[cos(A – B) + cos(A + B)]
- sin(A)cos(B) = (1/2)[sin(A + B) + sin(A – B)]
यहाँ केवल कुछ मुख्य त्रिकोणमितिक सूत्रों को शामिल किया गया है। ये मूल बुनियादी सूत्र विभिन्न अधिक कठिन सूत्रों और पहचानों के लिए आधार स्थापित करते हैं। जब तक आप इन सूत्रों को स्वामित्व कर नहीं लेते, आप आसानी से और सटीकता के साथ विभिन्न त्रिकोणमितिक समस्याओं का सामना कर सकेंगे।
त्रिकोणमिति टेबल
| Angles (In Degrees) | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | 180° | 270° | 360° |
| Angles (In Radians) | 0 | π/6 | π/4 | π/3 | π/2 | π | 3π/2 | 2π |
| sin | 0 | 1/2 | 1/√2 | √3/2 | 1 | 0 | -1 | 0 |
| cos | 1 | √3/2 | 1/√2 | 1/2 | 0 | -1 | 0 | 1 |
| tan | 0 | 1/√3 | 1 | √3 | ∞ | 0 | ∞ | 0 |
| cot | ∞ | √3 | 1 | 1/√3 | 0 | ∞ | 0 | ∞ |
| cosec | ∞ | 2 | √2 | 2/√3 | 1 | ∞ | -1 | ∞ |
| sec | 1 | 2/√3 | √2 | 2 | ∞ | -1 | ∞ | 1 |
ट्रिगनोमेट्री ट्रिक्स
ट्रिगनोमेट्री ट्रिक्स सहायक तकनीकें और शॉर्टकट होती हैं जो गणना को सरल बना सकती हैं, समस्याओं को अधिक दक्षता से हल करने में मदद करती हैं, और मूलभूत अवधारणाओं को याद करने में सहायता प्रदान करती हैं। यहां कुछ उपयोगी ट्रिगनोमेट्री ट्रिक्स हैं:
- यूनिट सर्कल: यूनिट सर्कल ट्रिगनोमेट्री में एक महत्वपूर्ण उपकरण है। यूनिट सर्कल पर कोणों (0°, 30°, 45°, 60° और 90°) की स्थानांतरित कोणों को याद करके, आप कैलकुलेटर के बिना इन कोणों के लिए साइन, कोसाइन, और टैंजेंट की मानें तेजी से निर्धारित कर सकते हैं।
- विशेष त्रिभुज: विशेष त्रिभुज, जैसे 45-45-90 त्रिभुज और 30-60-90 त्रिभुज, में संज्ञायुक्त अनुपात होते हैं जो गणनाओं को सरल बना सकते हैं। 45-45-90 त्रिभुज के लिए, पक्षों का अनुपात 1:1:√2 होता है, जबकि 30-60-90 त्रिभुज के लिए पक्षों का अनुपात 1:√3:2 होता है। ये अनुपात इन कोणों के बीच की गणनाओं को सरल बना सकते हैं।
- सममिति: ट्रिगनोमेट्रीकी फंक्शनों में सममिति गुणधर्मों को प्रदर्शित करती हैं जो उपयोगी होती हैं। उदाहरण के लिए, साइन और कोसेकन्ट का असममिति गुणधर्म होता है, जबकि कोसाइन और सेकेंट का सममिति गुणधर्म होता है। टैंजेंट और कोटेजेंट भी असममिति गुणधर्म होते हैं। ये सममितियों का उपयोग करके गणनाएं सरल बनाने में मदद कर सकती हैं, क्योंकि इससे गणनाओं की संख्या कम होती है।
- सहपूरक ट्रिगनोमेट्री गुणधर्म: सह-फ़ंक्शन पहचान पूरक कोणों के त्रिकोणमितीय कार्यों से संबंधित हैं। पूरक कोण दो कोण होते हैं जिनका योग 90 डिग्री (या π/2 रेडियन) होता है। उदाहरण के लिए, पाप(π/2 – θ) कॉस(θ) के बराबर है, और कॉस(π/2 – θ) पाप(θ) के बराबर है। ये पहचान त्रिकोणमितीय कार्यों को बदलने और अभिव्यक्तियों को सरल बनाने के लिए उपयोगी हो सकती हैं।
- रेडियन-डिग्री रूपांतरण: डिग्री और रेडियन के बीच कनवर्ट करने के लिए, आप इस तथ्य का उपयोग कर सकते हैं कि 180 डिग्री π रेडियन के बराबर है। किसी समस्या में डिग्री और रेडियन दोनों के साथ काम करते समय यह रूपांतरण उपयोगी हो सकता है।
- योग और अंतर सूत्र: योग और अंतर सूत्र आपको दो कोणों के योग या अंतर के त्रिकोणमितीय मान ज्ञात करने की अनुमति देते हैं। ये सूत्र जटिल त्रिकोणमितीय अभिव्यक्तियों को सरल बनाने में मदद कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, दो कोणों के योग की ज्या को पाप (ए + बी) = पाप (ए) कोस (बी) + कोस (ए) पाप (बी) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
- सम-विषम पहचान: सम-विषम पहचान त्रिकोणमितीय कार्यों की समरूपता का वर्णन करती है। उदाहरण के लिए, पाप(-θ) = -sin(θ) और cos(-θ) = cos(θ)। ये सर्वसमिकाएँ ऋणात्मक कोणों के त्रिकोणमितीय फलनों के मूल्यांकन के लिए उपयोगी हो सकती हैं।
- आवधिकता: त्रिकोणमितीय फलन आवधिक होते हैं, जिसका अर्थ है कि वे निश्चित अंतराल के बाद अपने मूल्यों को दोहराते हैं। उदाहरण के लिए, साइन और कोसाइन की अवधि 2π रेडियन या 360 डिग्री है। त्रिकोणमितीय कार्यों की आवधिक प्रकृति को समझने से गणना को सरल बनाने और मानक सीमा के बाहर के कोणों के लिए मान निर्धारित करने में मदद मिल सकती है।
- त्रिकोणमितीय समीकरण: त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करते समय, इसे अधिक प्रबंधनीय रूप में सरल बनाने के लिए सर्वसमिकाओं का उपयोग करना या समीकरण में हेरफेर करना अक्सर सहायक होता है। इसमें फैक्टरिंग, सामान्य शब्दों को रद्द करना या त्रिकोणमितीय पहचान लागू करना शामिल हो सकता है।
- विज़ुअलाइज़ेशन और आरेखण: त्रिकोण बनाना या किसी समस्या के कोणों और भुजाओं की कल्पना करना त्रिकोणमितीय समस्याओं को समझने और हल करने में सहायता कर सकता है। विज़ुअलाइज़ेशन ज्यामितीय अंतर्दृष्टि प्रदान कर सकता है और त्रिकोण या समस्या के विभिन्न हिस्सों के बीच संबंधों की पहचान करने में मदद कर सकता है।
ये ट्रिगोनोमेट्री टिप्स गणित समस्याओं के हल करने, गणनाओं की गति बढ़ाने और शॉर्टकट प्रदान करने में मदद कर सकती हैं। ट्रिगोनोमेट्री को अधिक प्रभावी ढंग से उपयोग करने के लिए, इन तरीकों को अभ्यास करना और उन्हें समझना महत्वपूर्ण है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएं
ट्रिगोनोमेट्री आदेश ट्रिगोनोमेट्री फंक्शनों के बीच संबंध स्थापित करने वाले गणितीय समीकरण हैं। ये आदेश मूल ज्यामिति सिद्धांतों से प्राप्त होते हैं और अभिव्यंजन फंक्शनों के सरलीकरण, समीकरणों की पुष्टि और ट्रिगोनोमेट्रिक समस्याओं के हल में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। यहां कुछ महत्वपूर्ण ट्रिगोनोमेट्रिक आदेश हैं:
पारस्परिक आदेश: पारस्परिक आदेश अपने सहभाजी कोणों के विपरीतता की ट्रिगोनोमेट्रिक फंक्शनों को उनके परस्परित बदले में व्यक्त करते हैं। इन आदेशों का उपयोग एक दूसरे के ट्रिगोनोमेट्रिक फंक्शनों के साथ बदलने और संक्षेप में व्यक्त करने के लिए किया जा सकता है:
- csc(theta) = 1/sin(theta) = हाइपोटेन्यूस की लंबाई/विपरीत
- sec(theta) = 1/cos(theta) = हाइपोटेन्यूस की लंबाई/आंतरिक
- cot(theta) = 1/tan(theta) = विपरीत/आंतरिक
अनुपात आदेश: अनुपात आदेश एक कोण के त्रिगोनोमेट्रिक अनुपात को अन्य ट्रिगोनोमेट्रिक फंक्शनों के अनुपात के साथ संबंधित करते हैं। ये आदेश एक दूसरे के ट्रिगोनोमेट्रिक फंक्शनों को व्यक्त करने में मददगार होते हैं:
- tan(theta) = sin(theta)/cos(theta) = विपरीत/आंतरिक
- cot(theta) = cos(theta)/sin(theta) = आंतरिक/विपरीत
पिथागोरियन आदेश: पिथागोरियन आदेश में पिथागोरस के सिद्धांत का उपयोग होता है और ट्रिगोनोमेट्रिक फंक्शनों के वर्गों के बीच संबंध स्थापित करता है। सबसे ज्ञात पिथागोरियन आदेश है:
- sin²(theta) + cos²(theta) = 1
इस मौलिक समीकरण से अन्य पिथागोरियन आदेश निकाले जा सकते हैं:
- 1 + tan²(theta) = sec²(theta)
- 1 + cot²(theta) = csc²(theta)
सहयोगी कोण आदेश: सहयोगी कोणों के ट्रिगोनोमेट्रिक फंक्शनों को संबंधित करने वाले सहयोगी कोण आदेश होते हैं। सहयोगी कोणों का अर्थ होता है, जो दो कोण होते हैं जिनका योग 90 डिग्री या π/2 रेडियन होता है:
- sin(π/2 – theta) = cos(theta)
- cos(π/2 – theta) = sin(theta)
- tan(π/2 – theta) = cot(theta)
- cot(π/2 – theta) = tan(theta)
- sec(π/2 – theta) = csc(theta)
- csc(π/2 – theta) = sec(theta)
इन आदेशों का उपयोग सहयोगी कोणों को संबंधितताओं को सरल बनाने में किया जा सकता है।
सममिति-विषममिति आदेश: सममिति-विषममिति आदेश ट्रिगोनोमेट्री फंक्शनों के सममिति और विषममिति के बीच संबंध स्थापित करते हैं। इन आदेशों का उपयोग गणनाओं को सरल बनाने और संख्या की संख्या कम करने में किया जाता है:
- sin(A ± B) = sin(A)cos(B) ± cos(A)sin(B)
- cos(A ± B) = cos(A)cos(B) ∓ sin(A)sin(B)
- tan(A ± B) = (tan(A) ± tan(B))/(1 ∓ tan(A)tan(B))
त्रिकोणमितीय अनुपात
ये ट्रिगोनोमेट्री आदेश ट्रिगोनोमेट्री गणित के मौलिक सिद्धांतों को समझने और गणनाओं को सरल बनाने में मददगार हो सकते हैं। इन आदेशों को समझना और अभ्यास करना महत्वपूर्ण है ताकि आप ट्रिगोनोमेट्री समस्याओं को सुरक्षित रूप से हल कर सकें।
त्रिकोणमिति के अनुसार, त्रिकोणीय अनुपात कोणों को एक सम्पूर्ण त्रिभुज की पक्षों की लंबाई के साथ संबंधित करते हैं। इन अनुपातों को समझना त्रिकोणमिति में मूलभूत है। यहां प्राथमिक त्रिकोणमिति अनुपात हैं:
- साइन (sin): साइन एक त्रिभुज की कोण के विपरीत पक्ष (O) की लंबाई को त्रिभुज की हाइपोटेन्यूस (H) की लंबाई के अनुपात के रूप में प्रदर्शित करता है। गणितीय रूप में, इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: sin(θ) = O/H
- कोसाइन (cos): कोसाइन एक त्रिभुज की कोण के पासवाले पक्ष (A) की लंबाई को त्रिभुज की हाइपोटेन्यूस (H) की लंबाई के अनुपात के रूप में प्रदर्शित करता है। गणितीय रूप में, इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: cos(θ) = A/H
- टैन्जेंट (tan): टैन्जेंट एक त्रिभुज की कोण के विपरीत पक्ष (O) की लंबाई को त्रिभुज की कोण के पासवाले पक्ष (A) की लंबाई के अनुपात के रूप में प्रदर्शित करता है। गणितीय रूप में, इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: tan(θ) = O/A
इस बात का महत्व रखना आवश्यक है कि ये अनुपात सिर्फ सही त्रिभुजों के लिए हैं और केवल 0 से 90 डिग्री (या 0 से π/2 रेडियन) के दायरे में लागू होते हैं।
अतिरिक्त त्रिकोणमिति अनुपात:
कोसेकेंट (csc): कोसेकेंट साइन का प्रतिस्थापन है। इसे त्रिभुज की हाइपोटेन्यूस (H) की लंबाई को त्रिभुज की कोण के विपरीत पक्ष (O) की लंबाई के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है। csc(θ) = 1/sin(θ) = H/O
सीकेंट (sec): सीकेंट कोसाइन का प्रतिस्थापन है। इसे त्रिभुज की हाइपोटेन्यूस (H) की लंबाई को त्रिभुज की कोण के पासवाले पक्ष (A) की लंबाई के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है। sec(θ) = 1/cos(θ) = H/A
कोटेंजेंट (cot): कोटेंजेंट टैन्जेंट का प्रतिस्थापन है। इसे त्रिभुज की कोण के पासवाले पक्ष (A) की लंबाई को त्रिभुज की कोण के विपरीत पक्ष (O) की लंबाई के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है। cot(θ) = 1/tan(θ) = A/O
ये त्रिकोणमिति अनुपात एक सही त्रिभुज में अज्ञात कोणों या पक्षों की लंबाई की गणना करने, साथ ही विभिन्न त्रिकोणमिति समस्याओं को हल करने के लिए महत्वपूर्ण हैं। ये एक त्रिभुज के कोणों और पक्षों के बीच एक गणितीय संबंध प्रदान करते हैं, जिससे सटीक गणनाएं और विश्लेषण की जा सकती है।
त्रिकोणमिति अनुपातों का उपयोग सादिर गणित से अधिक होता है। वह भौतिकी, इंजीनियरिंग, सर्वेक्षण, और नेविगेशन जैसे क्षेत्रों में उपयोग किया जाता है। इन अनुपातों को समझकर आप वास्तविक जगत की स्थितियों में कोण, दूरी, ऊंचाई और अन्य महत्वपूर्ण मापों का निर्धारण कर सकते हैं।
दो कोणों के योग और अंतर के लिए महत्वपूर्ण त्रिकोणमिति सूत्र
एक विशेष प्रकार की समस्या को हल करने के लिए महत्वपूर्ण संकेत
यदि A + B = 90° है
ये रिजल्ट हमेशा सच होते हैं:
(i) sin A . sec B = 1 या sin A = cos B
(ii) cos A . cosec B = 1 या sec A = cosec B
(iii) tan A . tan B = 1 या tan A = cot B
(iv) cot A . cot B = 1
(v) sin²A + sin²B = 1
(vi) cos²A + cos²B = 1
दो कोणों के योग और व्यतिक्रम के लिए महत्वपूर्ण त्रिकोणमिति सूत्र
दो कोणों के योग और व्यतिक्रम के लिए त्रिकोणमिति सूत्र अभिन्न रूप से अभिव्यक्ति को सरल बनाने और त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। यहां दो कोणों के योग और व्यतिक्रम के लिए कुछ महत्वपूर्ण सूत्र हैं:
दो कोणों का योग:
sin(A + B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)
cos(A + B) = cos(A)cos(B) – sin(A)sin(B)
tan(A + B) = (tan(A) + tan(B)) / (1 – tan(A)tan(B))
दो कोणों का व्यतिक्रम:
sin(A – B) = sin(A)cos(B) – cos(A)sin(B)
cos(A – B) = cos(A)cos(B) + sin(A)sin(B)
tan(A – B) = (tan(A) – tan(B)) / (1 + tan(A)tan(B))
इन सूत्रों को त्रिकोणमिति के विभिन्न पहलुओं और गुणों का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है।
सह-कार्य सूत्र: सह-कार्य सूत्र संपूरक कोणों की त्रिकोणमिति के अभिलेख को एक दूसरे के रूप में व्यक्त करते हैं। थीटा का संपूरक कोण (π/2) – थीटा होता है। इन सूत्रों का उपयोग करके हम सह-कार्य सूत्रों के लिए सम का योग और व्यतिक्रम तथा कोसाइन के लिए योग और व्यतिक्रम प्राप्त कर सकते हैं:
sin(A + B) = cos(A’ – B’) = cos(A’)cos(B’) – sin(A’)sin(B’)
cos(A + B) = cos(A’)cos(B’) + sin(A’)sin(B’) = sin(A’ – B’) यहां A’ = (π/2) – A और B’ = (π/2) – B हैं।
द्विगुण सूत्र: द्विगुण सूत्र एक कोण की त्रिकोणमिति को उस कोण के द्विगुण की त्रिकोणमिति के साथ संबंधित करते हैं। हम सम और व्यतिक्रम सूत्रों में A = B को सेट करके द्विगुण सूत्रों को प्राप्त करते हैं:
sin(2A) = 2sin(A)cos(A)
cos(2A) = cos²(A) – sin²(A) = 2cos²(A) – 1 = 1 – 2sin²(A)
tan(2A) = (2tan(A)) / (1 – tan²(A))
ये सूत्र एक दिए गए कोण के द्विगुण आकार के कोणों के साथ काम करने में उपयोगी होते हैं।
आधा कोण सूत्र: आधा कोण सूत्र एक कोण की त्रिकोणमिति को आधे कोण के रूप में व्यक्त करते हैं। ये सूत्र द्विगुण सूत्रों से प्राप्त किए जा सकते हैं:
sin(A/2) = ±√[(1 – cos(A)) / 2]
cos(A/2) = ±√[(1 + cos(A)) / 2]
tan(A/2) = ±√[(1 – cos(A)) / (1 + cos(A))]
± चिन्ह इस बात की ओर इशारा करता है कि इन फ़ंक्शन के लिए दो संभावित मान हो सकते हैं, जो कोण किसवट में होता है।
दो कोणों के योग और व्यतिक्रम के लिए ये सूत्र महत्वपूर्ण हैं, त्रिकोणमिति की गणनाओं, अभिव्यक्तियों को सरल बनाने में, और त्रिकोणमिति समीकरणों को हल करने में। इन सूत्रों को समझना और उन्हें लागू करना आपकी त्रिकोणमिति में कुशलता को बढ़ा सकता है और आपको कोणों के साथ संबंधित विभिन्न समस्याओं को हल करने की क्षमता प्रदान कर सकता है।
स्पर्शरेखा के लिए त्रिकोणमिति सूत्र
स्पर्शरेखा (tan) के लिए त्रिकोणमिति सूत्रों में किसी कोण की स्पर्शरेखा को अन्य त्रिकोणमितीय कार्यों के संदर्भ में व्यक्त करना शामिल है। यहां स्पर्शरेखा के लिए कुछ महत्वपूर्ण सूत्र दिए गए हैं:
- स्पर्शरेखा परिभाषा: tan(theta) = syn(theta) / cos(theta) यह सूत्र स्पर्शरेखा को एक कोण की ज्या और उसी कोण की कोज्या के अनुपात के रूप में परिभाषित करता है।
- पायथागॉरियन पहचान: syn^2(theta) + cos^2(theta) = 1 समीकरण के दोनों पक्षों को cos^2(theta) से विभाजित करने पर, हमें मिलता है: tan^2(theta) + 1 = sec^2(theta) यह सूत्र स्पर्शरेखा को कोण के छेदक से जोड़ता है।
साइन और कोसाइन के संदर्भ में स्पर्शरेखा: tan(theta) = syn(theta) / cos(theta) यह स्पर्शरेखा की मूल परिभाषा है - पारस्परिक पहचान: cot(theta) = 1 / tan(theta) यह सूत्र स्पर्शरेखा और cotangent कार्यों के बीच पारस्परिक संबंध दिखाता है।
योग की स्पर्शरेखा या कोणों का अंतर: tan(A + B) = (tan(A) + tan(B)) / (1 – tan(A)tan(B)) tan(A – B) = (tan( ए) – टैन(बी)) / (1 + टैन(ए)टैन(बी)) ये सूत्र दो कोणों के योग या अंतर की स्पर्शरेखा को अलग-अलग कोणों की स्पर्शरेखा के रूप में व्यक्त करते हैं। - अर्ध-कोण की स्पर्शरेखा: tan(theta/2) = (1 – cos(theta)) / syn(theta) यह सूत्र आधे कोण की स्पर्शरेखा को मूल कोण की कोज्या और ज्या से जोड़ता है।
- दोहरे कोण की स्पर्शरेखा: tan(2theta) = 2tan(theta) / (1 – tan^2(theta)) यह सूत्र दोहरे कोण की स्पर्शरेखा को मूल कोण की स्पर्शरेखा के रूप में व्यक्त करता है।
- त्रिकोण की स्पर्शरेखा: tan(3theta) = (3tan(theta) – tan^3(theta)) / (1 – 3tan^2(theta)) यह सूत्र मूल कोण की स्पर्शरेखा का उपयोग करके त्रिकोण की स्पर्शरेखा की गणना करता है .
वर्गों के अंतर की स्पर्शरेखा: tan(A + B)tan(A – B) = [tan(A) + tan(B)][tan(A) – tan(B)] यह सूत्र योग की स्पर्शरेखा से संबंधित है और दो कोणों का उनकी व्यक्तिगत स्पर्शरेखाओं से अंतर।
ये सूत्र स्पर्शरेखा के गुणों में मूल्यवान अंतर्दृष्टि प्रदान करते हैं और कोणों और त्रिकोणमितीय कार्यों से जुड़ी गणनाओं की अनुमति देते हैं। उनका उपयोग अभिव्यक्तियों को सरल बनाने, त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने और विभिन्न कोणों के बीच संबंध प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है। इन सूत्रों से खुद को परिचित करने से त्रिकोणमिति की आपकी समझ बढ़ेगी और आप स्पर्शरेखा से जुड़ी समस्याओं की एक विस्तृत श्रृंखला को हल करने में सक्षम होंगे।
त्रिकोणमिति सूत्र सूची
- Pythagorean Theorem:
- a² + b² = c² This formula relates the lengths of the sides of a right triangle, where a and b are the lengths of the two legs and c is the length of the hypotenuse.
- Trigonometric Ratios:
- Sine (sin): sin(theta) = opposite/hypotenuse
- Cosine (cos): cos(theta) = adjacent/hypotenuse
- Tangent (tan): tan(theta) = opposite/adjacent These ratios define the relationship between the angles and sides of a right triangle.
- Reciprocal Trigonometric Ratios:
- Cosecant (csc): csc(theta) = 1/sin(theta)
- Secant (sec): sec(theta) = 1/cos(theta)
- Cotangent (cot): cot(theta) = 1/tan(theta) These ratios are the reciprocals of the sine, cosine, and tangent functions.
- Trigonometric Identities:
- Pythagorean Identity: sin²(theta) + cos²(theta) = 1
- Reciprocal Identities: csc(theta) = 1/sin(theta), sec(theta) = 1/cos(theta), cot(theta) = 1/tan(theta)
- Quotient Identities: tan(theta) = sin(theta)/cos(theta), cot(theta) = cos(theta)/sin(theta)
- Co-Function Identities: sin(π/2 – theta) = cos(theta), cos(π/2 – theta) = sin(theta), tan(π/2 – theta) = cot(theta), csc(π/2 – theta) = sec(theta), sec(π/2 – theta) = csc(theta), cot(π/2 – theta) = tan(theta)
- Even-Odd Identities: sin(-theta) = -sin(theta), cos(-theta) = cos(theta), tan(-theta) = -tan(theta), csc(-theta) = -csc(theta), sec(-theta) = sec(theta), cot(-theta) = -cot(theta)
- Sum and Difference Formulas:
- sin(A ± B) = sin(A)cos(B) ± cos(A)sin(B)
- cos(A ± B) = cos(A)cos(B) ∓ sin(A)sin(B)
- tan(A ± B) = (tan(A) ± tan(B))/(1 ∓ tan(A)tan(B))
- Double Angle Formulas:
- sin(2θ) = 2sinθcosθ
- cos(2θ) = cos²θ – sin²θ = 2cos²θ- 1 = 1 – 2sin²θ
- tan(2θ) = 2tanθ / (1 – tan²θ)
- Half Angle Formulas:
- sin(θ/2) = ±√[(1 – cosθ) / 2]
- cos(θ/2) = ±√[(1 + cosθ) / 2]
- tan(θ/2) = ±√[(1 – cosθ) / (1 + cosθ)]
- Product to Sum Formulas:
- sin(A)sin(B) = (1/2)[cos(A – B) – cos(A + B)]
- cos(A)cos(B) = (1/2)[cos(A – B) + cos(A + B)]
- sin(A)cos(B) = (1/2)[sin(A + B) + sin(A – B)]
- Sum to Product Formulas:
- sin(A) + sin(B) = 2sin[(A + B)/2]cos[(A – B)/2]
- sin(A) – sin(B) = 2cos[(A + B)/2]sin[(A – B)/2]
- cos(A) + cos(B) = 2cos[(A + B)/2]cos[(A – B)/2]
- cos(A) – cos(B) = -2sin[(A + B)/2]sin[(A – B)/2]
ये कुछ महत्वपूर्ण त्रिकोणमिति सूत्र हैं। कई और अधिक उन्नत सूत्र और पहचान हैं, लेकिन इनसे आपको त्रिकोणमिति के साथ काम करने के लिए एक ठोस आधार मिलना चाहिए।
त्रिकोणमिति अधिकतम एवं न्यूनतम मान
त्रिकोणमिति में, त्रिकोणमितीय कार्यों के अधिकतम और न्यूनतम मान विचार किए जा रहे कोणों की सीमा पर निर्भर करते हैं। यहां प्राथमिक त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए अधिकतम और न्यूनतम मान दिए गए हैं:
- Sine (sin):
- अधिकतम मान: साइन फ़ंक्शन 90 डिग्री (π/2 रेडियन) पर अपने अधिकतम मान 1 तक पहुंचता है।
- न्यूनतम मान: साइन फ़ंक्शन 270 डिग्री (3π/2 रेडियन) पर अपने न्यूनतम मान -1 तक पहुंचता है।
- Cosine (cos):
- अधिकतम मान: कोसाइन फ़ंक्शन 0 डिग्री (0 रेडियन) पर अपने अधिकतम मान 1 तक पहुंचता है।
- न्यूनतम मान: कोसाइन फ़ंक्शन 180 डिग्री (π रेडियन) पर अपने न्यूनतम मान -1 तक पहुँच जाता है।
- Tangent (tan):
- स्पर्शरेखा फलन के लिए कोई अधिकतम या न्यूनतम मान नहीं है क्योंकि यह असीमित है। जैसे ही स्पर्शरेखा फलन कोण के कुछ मानों के करीब पहुंचता है, यह सकारात्मक या नकारात्मक अनंत की ओर झुक जाता है।
यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि ये अधिकतम और न्यूनतम मान कोणों की मानक सीमा (0 से 360 डिग्री या 0 से 2π रेडियन) पर लागू होते हैं। यदि इस सीमा के बाहर के कोण या विशिष्ट प्रतिबंध दिए गए हैं, तो अधिकतम और न्यूनतम मान भिन्न हो सकते हैं।
इसके अतिरिक्त, यह उल्लेखनीय है कि अधिकतम और न्यूनतम मान उपयोग की गई इकाइयों (डिग्री या रेडियन) के आधार पर बदल सकते हैं और कोणों को सकारात्मक या नकारात्मक दिशा में मापा जाता है या नहीं।
त्रिकोणमितीय कार्यों के अधिकतम और न्यूनतम मूल्यों को समझने से इन कार्यों का विश्लेषण और रेखांकन करने, त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने और विशिष्ट अंतराल के भीतर कोणों के व्यवहार को निर्धारित करने में मदद मिलती है।
अधिकतम और न्यूनतम मान
न्यूनतम मान अधिकतम मान
- sin θ, cos θ [विषम घात] –1 +1
- sin θ, cos θ [सम घात] 0 +1
- tan θ, cot θ [विषम घात] –∞ +∞
- tan θ, cot θ [सम घात] 0 +∞
- sec θ, cosec θ [विषम घात] –∞ +∞
- sec θ, cosec θ [सम घात] +1 +∞
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