सेट सिद्धांत गणित का एक महत्वपूर्ण हिस्सा है, जो वस्तुओं के समूहों को अच्छे से व्यवस्थित करने के लिए एक व्यापक और शक्तिशाली उपकरण प्रदान करता है। यह विचार और अभ्यास के बारे में है, जिसमें हम वस्तुओं के समूह को “सेट” के रूप में देखते हैं और उनके बीच संबंधों को अध्ययन करते हैं। सेट सिद्धांत का उपयोग गणित, विज्ञान, उच्चतर शिक्षा, और अन्य कई क्षेत्रों में किया जाता है। इस लेख में, हम सेट सिद्धांत के मूल अवधारणाओं, उपयोग, और अनुप्रयोगों पर ध्यान केंद्रित करेंगे।
समुच्चय सिद्धांत
समुच्चय सिद्धांत तार्किक गणित की एक शाखा है जो वस्तुओं के संग्रह और उस पर आधारित ऑपरेशन्स का अध्ययन करती है।
समुच्चय केवल वस्तुओं का एक संग्रह या वस्तुओं का एक समूह है। उदाहरण के लिए, एक फुटबॉल टीम में खिलाड़ियों का एक समूह एक समुच्चय है और टीम के खिलाड़ी उसकी वस्तुएँ हैं।
समुच्चय की परिभाषा
समुच्चय को “वस्तुओं के एक सुपरिभाषित संग्रह” के रूप में परिभाषित किया जाता है। मान लीजिए कि हमारे पास प्राकृतिक संख्याओं का एक समुच्चय है तो इसमें सभी प्राकृतिक संख्याएँ सदस्य होंगी और संख्याओं का संग्रह सुपरिभाषित है कि वे प्राकृतिक संख्याएँ हैं। एक समुच्चय को हमेशा कैपिटल लेटर से दर्शाया जाता है। हम सेट को दर्शाने के लिए कर्ली ब्रैकेट {} का उपयोग करते हैं और सेट में चीजों को अलग करने के लिए कॉमा (,) का उपयोग करते हैं।
उदाहरण के लिए A = {1, 2, 3, 4, a, b, c, d} एक समुच्चय है जिसमें 1, 2, 3, 4, a, b, c, d इस सेट के तत्व हैं।
समुच्चय के उदाहरण
समुच्चय के कुछ सामान्य उदाहरण नीचे दिए गए हैं:
- प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय: N = {1, 2, 3, 4…}
- सम संख्याओं का समुच्चय: E = {2, 4, 6, 8…}
- अभाज्य संख्याओं का समुच्चय: P = {2, 3, 5, 7,….}
- पूर्णांकों का समुच्चय: Z = {…, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2,….}
समुच्चयों का निरूपण
समुच्चयों को मुख्यतः दो रूपों में दर्शाया जाता है:
- रोस्टर फॉर्म
- सेट बिल्डर फॉर्म
रोस्टर फॉर्म
समुच्चय के रोस्टर फॉर्म में, तत्वों को {} के अंदर रखा जाता है और कॉमा द्वारा पृथक रखा जाता है। मान लीजिए कि हमें प्राकृतिक संख्याओं के एक सेट को रोस्टर फॉर्म में प्रस्तुत करना है तो इसका रोस्टर फॉर्म N = {1, 2, 3, 4… ..} के रूप में दिया गया है।
रोस्टर फॉर्म प्रतिनिधित्व में,समुच्चय में समान तत्व शामिल नहीं होते हैं। उदाहरण के लिए, यदि A एक ऐसे सेट का प्रतिनिधित्व करता है जिसमें TREE शब्द के सभी अक्षर शामिल हैं, तो सही रोस्टर फॉर्म समुच्चय होगा:
A = {T,R,E}
= {E,R,T}
A = {T,R,E,E} गलत निरूपण है,
इसलिए A ≠ {T,R,E,E}
सेट बिल्डर फॉर्म
सेट बिल्डर फॉर्म में, तत्वों को सीधे कर्ली ब्रैकेट के अंदर लिखने के स्थान पर सभी तत्वों की सामान्य विशेषताओं का वर्णन करने वाला एक नियम या कथन लिखा जाता है। उदाहरण के लिए,
- 10 से कम या उसके बराबर सभी अभाज्य संख्याओं का एक सेट
P = {p : p एक अभाज्य संख्या ≤ 10 है} - प्राकृतिक संख्याओं का सेट
N = {n : n एक प्राकृतिक संख्या है}
समुच्चय के प्रकार
तत्वों या तत्वों के प्रकार के आधार पर समुच्चयों को आगे विभिन्न प्रकारों में वर्गीकृत किया गया है। मूल समुच्चय सिद्धांत में ये विभिन्न प्रकार के समुच्चय हैं:
| समुच्चय के प्रकार | ||
| समुच्चय के प्रकार | विवरण | उदाहरण |
|---|---|---|
| रिक्त समुच्चय | एक समुच्चय जिसमें कोई भी तत्व शामिल नहीं है। | {} |
| एकल समुच्चय | एक समुच्चय जिसमें एक ही तत्व होता है। | {1} |
| परिमित समुच्चय | परिमित, गणना की जा सकने वाले तत्वों वाला एक समुच्चय | {सेब, केला, संतरा} |
| अपरिमित समुच्चय | अनगिनत संख्या में तत्वों वाला एकसमुच्चय | {प्राकृतिक संख्याएँ (1, 2, 3, …)} |
| समतुल्य समुच्चय | ऐसे समुच्चय जिनमें तत्वों की संख्या समान हो और उनके तत्वों को वन-टू-वन संबंध किया जा सकता है। | समुच्चय A = {1, 2, 3} और समुच्चय B = {a, b, c} (यह मानते हुए कि a से 1, b से 2, और c से 3 के संबंधति हैं।) |
| समान समुच्चय | ऐसे समुच्चय जिनमें तत्व समान होते हैं। | समुच्चय A = {1, 2} और समुच्चय B = {1, 2} |
| सार्वत्रिक समुच्चय | एक समुच्चय जिसमें किसी विशिष्ट चर्चा के लिए प्रासंगिक सभी तत्व शामिल हैं। | एक स्कूल में सभी छात्रों का समूह (जब छात्र ग्रेड पर चर्चा की जाती है) |
| असमान समुच्चय | ऐसे समुच्चय जिनमें सभी समान तत्व नहीं होते हैं। | समुच्चय A = {1, 2, 3} और समुच्चय B = {a, b} |
| घात समुच्चय | समुच्चय में किसी दिए गए समुच्चय के सभी संभावित उपसमुच्चय शामिल हैं। | {a, b} का घात समुच्चय = { {}, {a}, {b}, {a, b} } |
| उपसमुच्चय | एक समुच्चय जहां सभी तत्व दूसरे समुच्चय के सदस्य भी होते हैं। | {1, 2}, {1, 2, 3} का एक उपसमुच्चय |
समुच्चय सिद्धांत के प्रतीक
समुच्चय सिद्धांत में विभिन्न प्रतीकों का उपयोग किया जाता है। नोटेशन और उनका स्पष्टीकरण नीचे सारणीबद्ध है:
| समुच्चय सिद्धांत के प्रतीक | |
| प्रतीक | स्पष्टीकरण |
|---|---|
| {} | समुच्चय |
| x ∈ A | x समुच्चय A का एक तत्व है |
| x ∉ A | x समुच्चय A का एक तत्व नहीं है |
| ∃ or ∄ | यह अस्तित्व में है या अस्तित्व में नहीं है |
| Φ | रिक्त समुच्चय |
| A = B | समान समुच्चय |
| n(A) | सेट A की कार्डिनल संख्या |
| P(A) | घात समुच्चय |
| A ⊆ B | A, B का उपसमुच्चय है |
| A ⊂ B | A, B का उचित उपसमुच्चय है |
| A ⊈ B | A, B का उपसमुच्चय नहीं है |
| B ⊇ A | B, A का अधिसमुच्चय है |
| B ⊃ A | B, A का उचित अधिसमुच्चय है |
| B ⊉ A | B, A का अधिसमुच्चय नहीं है |
| A ∪ B | A सम्मिलन B |
| A ∩ B | A सर्वनिष्ठ B |
| A’ | समुच्चय A का कॉम्प्लीमेंट |
समुच्चय पर संक्रियाएँ
व्यापक रूप से उपयोग किए जाने वाले चार महत्वपूर्ण समुच्चय संक्रियाएँ हैं:
| समुच्चय पर संक्रियाएँ | ||
| समुच्चय संक्रियाएँ | विवरण | उदाहरण |
|---|---|---|
| यूनियन (U) | उभयनिष्ठ तत्वों सहित दो सेटों से तत्वों का संयोजन |
यदि समुच्चय A = {1, 3, 5} और समुच्चय B = {2, 3, 4}, तो A U B = {1, 2, 3, 4, 5} |
| इंटरसेक्शन (∩) | दोनों सेटों में मौजूद तत्वों का समूह |
यदि समुच्चय A = {1, 3, 5} और समुच्चय B = {2, 3, 4}, तो A ∩ B = {3} |
| अंतर ( \ ) | पहले सेट के उन तत्वों का समूह जो दूसरे सेट में नहीं हैं। |
यदि समुच्चय A = {1, 3, 5} और समुच्चय B = {2, 3, 4}, तो A \ B = {1, 5} |
| कॉम्प्लीमेंट (A’) | उन तत्वों का संग्रह जो पहले सेट में नहीं हैं, लेकिन सार्वत्रिक सेट में हैं। |
यदि सार्वत्रिक समुच्चय = {1, 2, 3, 4, 5} और समुच्चय A = {2, 4}, तो A’ = {1, 3, 5} |
| कार्तीय गुणन (A x B) | क्रमित युग्मों का संग्रह जहां पहला तत्व पहले सेट से आता है और दूसरा तत्व दूसरे सेट से आता है। |
यदि समुच्चय A = {1, 2} और समुच्चय B = {a, b}, तो A x B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b) |
समुच्चय सिद्धांत के सूत्र
| समुच्चय सिद्धांत के सूत्र |
|
समुच्चय संक्रियाओं के गुण
समुच्चयों द्वारा अनुसरण किए गए विभिन्न गुण नीचे सारणीबद्ध हैं:
| समुच्चय संक्रियाओं के गुण | |
| गुण | व्यंजक |
|---|---|
| क्रमविनिमेय गुण |
A ∪ B = B ∪ A A ∩ B = B ∩ A |
| साहचर्य गुण |
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) |
| वितरण गुण |
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) |
| तत्समक गुण |
A ∪ Φ = A A ∩ U = A |
| पूरक गुण | A ∪ A’ = U |
डी मॉर्गन के नियम
डी मॉर्गन का नियम दो सेटों के मिलन और प्रतिच्छेदन को उनके पूरकों के माध्यम से संबंधित करने में लागू होता है। डी मॉर्गन के नियम के अंतर्गत दो नियम हैं।
- डी मॉर्गन का सम्मिलन (यूनियन) का नियम – डी मॉर्गन के सम्मिलन के नियम में कहा गया है कि दो सेटों के मिलन का पूरक व्यक्तिगत सेटों के पूरक के प्रतिच्छेदन के बराबर है। इसे गणितीय रूप से इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है।
(A ∪ B)’ = A’ ∩ B’
- डी मॉर्गन का प्रतिच्छेदन (इंटरसेक्शन) का नियम – डी मॉर्गन के प्रतिच्छेदन नियम में कहा गया है कि दो सेटों के प्रतिच्छेदन का पूरक व्यक्तिगत सेटों के पूरक के मिलन के बराबर है। गणितीय रूप से इसे इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है।
(A ∩ B)’ = A’ ∪ B’
