Heights and Distances Definition: ऊँचाई और दूरी, परिभाषा, सूत्र, त्रिकोणमिति, उदाहरण सहित

“ऊँचाई और दूरी” का संबंध त्रिकोणमिति से है, जहां हम त्रिकोणमितीय अनुपातों का उपयोग करके विभिन्न ऊँचाईयों और दूरियों को मापते हैं. यह अवधारणा विशेष रूप से उन समस्याओं को हल करने में सहायक होती है जहां हमें किसी वस्तु की ऊँचाई, उसके आधार से दूरी, या देखने के कोण का अनुमान लगाना होता है.

ऊँचाई और दूरी: प्रतियोगी परीक्षाओं की तैयारी करने वाले उम्मीदवारों के लिए एक संपूर्ण गाइड

परिभाषा

ऊँचाई और दूरी वस्तुओं के बीच ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज दूरियों (vertical and Horizontal) के मापन को संदर्भित करता है। यह गणित की एक शाखा है जो ऊँचाई, गहराई और दूरियों से संबंधित समस्याओं को हल करने के लिए त्रिकोणमिति का उपयोग करती है.

सूत्र

त्रिकोणमिति ऊँचाई और दूरी की समस्याओं को हल करने की कुंजी है। तीन प्राथमिक त्रिकोणमितीय फलन (साइन, कोसाइन और टेंजेंट) का उपयोग एक समकोण त्रिभुज के पक्षों को उसके कोणों से संबंधित करने के लिए किया जाता है।

• साइन (sin): लंब / कर्ण
• कोसाइन (cos): आधार / कर्ण
• टेंजेंट (tan): लंब / आधार

इन कार्यों का उपयोग एक समकोण त्रिभुज में अज्ञात पक्षों या कोणों के लिए हल करने के लिए किया जा सकता है, जो अक्सर ऊँचाई और दूरी की समस्याओं में होता है।

त्रिकोणमिति और ऊँचाई और दूरी

त्रिकोणमिति एक समकोण त्रिभुज के कोणों और उसके पक्षों के बीच संबंध स्थापित करने के लिए उपकरण प्रदान करती है। इन संबंधों का उपयोग करके, हम अज्ञात ऊँचाइयों, दूरियों या कोणों की गणना कर सकते हैं।

उदाहरण के लिए, यदि हम एक इमारत के शीर्ष तक ऊँचाई का कोण और इमारत से दूरी जानते हैं, तो हम इमारत की ऊँचाई की गणना करने के लिए त्रिकोणमिति का उपयोग कर सकते हैं।

उदाहरण

उदाहरण 1: एक पेड़ की ऊँचाई की गणना करना

• आप एक पेड़ से 20 मीटर की दूरी पर खड़े हैं। आप पेड़ के शीर्ष तक ऊँचाई का कोण 30 डिग्री मापते हैं। पेड़ कितना लंबा है?

• टेंजेंट फ़ंक्शन का उपयोग करके: tan(30) = ऊँचाई / 20

• ऊँचाई के लिए हल करना: ऊँचाई = 20 * tan(30) ≈ 11.55 मीटर

उदाहरण 2: एक नाव तक की दूरी की गणना करना

• आप समुद्र तल से 50 मीटर ऊपर एक चट्टान पर खड़े हैं। आप दूरी में एक नाव देखते हैं और अवनमन का कोण 25 डिग्री मापते हैं। चट्टान के आधार से नाव कितनी दूर है?

• टेंजेंट फ़ंक्शन का उपयोग करके: tan(25) = 50 / दूरी

• दूरी के लिए हल करना: दूरी = 50 / tan(25) ≈ 106.42 मीटर

ऊँचाई और दूरी के अनुप्रयोग

ऊँचाई और दूरी के विभिन्न अनुप्रयोग हैं जैसे:

• इंजीनियरिंग: इमारतों, पुलों और अन्य संरचनाओं का डिजाइन
• सर्वेक्षण: भूमि का मापन और मानचित्र बनाना
• नेविगेशन: जहाजों, विमानों और उपग्रहों की स्थिति का निर्धारण
• खगोल विज्ञान: खगोलीय पिंडों तक की दूरी का मापन

ऊँचाई और दूरी की अवधारणाओं को समझकर और त्रिकोणमितीय सिद्धांतों को लागू करके, आप इन और अन्य क्षेत्रों में कई प्रकार की समस्याओं का समाधान कर सकते हैं.

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