बेलन का आयतन : जानिए क्या हैं इसका सूत्र और कैसे करें इस पर आधारित प्रश्न solve

Volume of a Cylinder : बेलन एक गोलाकार या अंडाकार क्रॉस-सेक्शन वाला एक तीन आयामी ठोस होता है और बीच में 2 समानांतर रेखाएं होती हैं। बेलन के अंदर इसके आयतन के तरल या ठोस पदार्थ रखे जा सकते सकते है। कई प्रतियोगी परीक्षाओं में बेलन के आयतन से संबंधित प्रश्न पूछे जाते हैं। उन्हें हल करने के लिए, आपको बेलन के आयतन से संबंधित बेसिक कांसेप्ट पर मजबूत पकड़ होनी चाहिए। हम यहाँ बेलन का आयतन क्या है और आप इसे कैसे निकाल कर सकते हैं? बेलन के आयतन और पृष्ठीय क्षेत्रफल में क्या अंतर है? आदि सभी सवालों का उत्तर लेकर आये हैं। यहां एक बेलन का आयतन निर्धारित करने का सूत्र और इसपर आधारित प्रश्न लेकर आये हैं जो आपको इसे बेहतर तरीके से समझने में मदद करेंगे।

बेलन का आयतन : परिभाषा

बेलन का आयतन वह राशि या स्थान है जो सिलेंडर अपने आप में ले सकता है। बेलन का आयतन ज्ञात करने के लिए, आपको बेलन की त्रिज्या और ऊँचाई ज्ञात होनी चाहिए। हम अपने दैनिक जीवन में जितने भी बेलन देखते हैं उनमें से अधिकांश लम्ब वृत्तीय बेलन होते हैं। उदाहरण के लिए, टिन, गोल खंभे, ट्यूब लाइट, पानी के पाइप आदि।

बेलन का आयतन : सूत्र

एक बेलन में एक शीर्ष और एक आधार होता है जो एक दूसरे के सर्वांगसम और समानांतर होते हैं। इसकी पार्श्व सतह भी आधार के लंबवत है। एक बेलन के आयतन की गणना करने के लिए, आइए आधार की त्रिज्या ‘r’ और ऊँचाई ‘h’ वाला एक बेलन लेते हैं।

इस प्रकार, बेलन का आयतन आधार के क्षेत्रफल और बेलन की ऊँचाई के गुणनफल द्वारा निकाला जाता है।

बेलन का आयतन = आधार का क्षेत्रफल × ऊँचाई

बेलन का आयतन = Πr² x h

अतः बेलन का आयतन Πr²h घन इकाई सूत्र द्वारा ज्ञात किया जा सकता है

खोखले बेलन का आयतन

एक खोखले बेलन वह बेलन होता हैं जो अंदर से खोखला होता है और इसमें वैक्यूम होता है। एक खोखले सिलेंडर का उदाहरण एक पानी का पाइप है जिसका उपयोग पानी को एक स्थान से दूसरे स्थान तक ले जाने के लिए किया जाता है। एक खोखले बेलन की 2 त्रिज्याएँ होंगी- एक बाहरी त्रिज्या और एक आंतरिक त्रिज्या। खोखले बेलन का आयतन कैसे ज्ञात करें? आइए इसपर एक नज़र डालते हैं:

ऊपर दी गई आकृति में, एक खोखला बेलन दिया गया है जिसकी आंतरिक और बाहरी त्रिज्या क्रमशः ‘r’ और ‘R’ है जिसकी ऊँचाई ‘h’ है। इस खोखले बेलन का आयतन का सूत्र होगा –

V = Πh (R² – r²)

जहां π को 22/7 या 3.14 लिया जा सकता है।

आयतन और क्षमता के बीच अंतर : Difference between Volume and capacity

आप में से बहुत से लोग इन दो समान शब्दों के बीच अंतर को देखकर आश्चर्यचकित कर सकते हैं। इन दोनों शब्दों में ज्यादा अंतर नहीं है। इसका मुख्य अंतर निम्नलिखित है:

(a) आयतन एक ठोस वस्तु द्वारा घेरे स्थान की मात्रा को संदर्भित करता है।
(b) क्षमता उस मात्रा को संदर्भित करती है जो एक कंटेनर के अंदर होता है।

नोट: यदि एक पानी की टंकी में 100 सेमी³ पानी है तो पानी के टंकी की क्षमता 100 सेमी³ है। क्षमता को लीटर में भी मापा जाता है। विभिन्न प्रश्नों को हल करने के लिए उपयोगी लीटर और सेमी³ के बीच संबंध निम्नलिखित है:

1 mL = 1 cm³
1 L = 1000 cm³
1 m³ = 1000000 cm³ = 1000 L

बेलन के आयतन और पृष्ठीय क्षेत्रफल के बीच अंतर : Difference between Volume and Surface Area of Cylinder

बेलन का पृष्ठीय क्षेत्रफल बेलन की सतह द्वारा लिया गया कुल क्षेत्रफल है, जबकि आयतन यह निर्धारित करता है कि बेलन अपने आप में कितनी मात्रा में कब्जा कर सकता है। हम पहले से ही बेलन के आयतन का सूत्र जान रहे हैं। बेलन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र निम्नलिखित हैं:

A = 2πr² + 2πrh

बेलन का आयतन : प्रश्न

उदाहरण 1: एक बेलन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए जिसका आयतन 275 सेमी³ है और आधार क्षेत्रफल 25 सेमी² है।

हल :

बेलन का आयतन = आधार का क्षेत्रफल × ऊँचाई

बेलन की ऊंचाई = बेलन का आयतन/आधार का क्षेत्रफल

ऊँचाई= 275/25 = 11 सेमी

उदाहरण 2 : 14 सेमी चौड़ाई का एक आयताकार कागज को इसकी चौड़ाई के अनुदिश लुढ़काया जाता है और 20 सेमी त्रिज्या का एक बेलन बनता है। तो बेलन का आयतन ज्ञात कीजिए।

हल: एक बेलन को उसकी चौड़ाई के चारों ओर एक आयत घुमाकर बनाया जाता है। अतः कागज की चौड़ाई ऊँचाई हो जाती है और बेलन की त्रिज्या 20 सेमी हो जाती है।