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Volume of a Sphere: परिभाषा, सूत्र और उदाहरण

एक गोला एक ज्यामितीय आकृति है, जिसके सभी बिन्दुओं का समूह त्रि-आयामी क्षेत्र में एक दिए गए बिंदु (केंद्र) से समान दूरी (त्रिज्या) पर होता है, या यह एक वृत्त को इसके व्यास के चारों ओर घुमाने का परिणाम है। एक गोले का आयतन निर्धारित करने के लिए, व्यक्ति को इसका निश्चित सूत्र लगाना चाहिए। गोला भी ज्यामिति के उन सबसे महत्वपूर्ण टॉपिक में से एक है, जो सरकारी भर्ती परीक्षाओं में पूछे जाते हैं। आमतौर पर, पूछे जाने वाले प्रश्न मूल अवधारणाओं और सूत्रों से संबंधित होते हैं। गणित का अधिकाँश भाग हल करने में आपको सक्षम बनाने के लिए,

एक गोला एक त्रि-आयामी आकृति है जिसमें इसकी सतह पर प्रत्येक बिंदु अपने केंद्र से समान दूरी पर होता है. इसका कोई किनारा और शीर्ष नहीं है. इसका कोई किनारा और शीर्ष नहीं है. गोला दो प्रकार का होता है ठोस गोला और खोखला गोला. एक गोले के आयतन को उसके अंदर व्याप्त जगह के रूप में परिभाषित किया जाता है. एक गोले का आयतन एक गोले की बाहरी सतह के अंदर ढके क्षेत्रफल की मात्रा है. इसे घन इकाई m3, cm3, in3, आदि में मापा जाता है.

गोले का आयतन त्रिज्या पर निर्भर करता है क्योंकि हम आयतन की गणना करने के लिए क्रॉस-सेक्शन लेते हैं और यह एक वृत्त है. यहां हम एक गोले के आयतन, गोले के पृष्ठीय क्षेत्रफल, आयतन के सूत्र और गोले के पृष्ठीय क्षेत्रफल आदि पर चर्चा करने जा रहे हैं. तो क्षेत्र और उससे संबंधित शर्तों और अवधारणाओं के बारे में विस्तृत जानकारी प्राप्त करने के लिए इस लेख को ध्यानपूर्वक पढ़ें.

गोले का आयतन = 4/3πr3

यहाँ हम उदाहरण सहित गोले की परिभाषा, गुण और सूत्र उपलब्ध करा रहे हैं, ताकि विद्यार्थी गोले के एप्लीकेशनों को समझ सकें।

Volume of a sphere: परिभाषा

एक गोला एक त्रि-आयामी आकृति है जिसमें इसकी सतह पर प्रत्येक बिंदु अपने केंद्र से समान दूरी पर होता है. इसका कोई किनारा और शीर्ष नहीं है. गोले का उदाहरण फुटबॉल है. गोले दो प्रकार के होते हैं, ठोस गोला और खोखला गोला.

एक गोले का आयतन आकृति के अंदर व्याप्त क्षेत्र का एक माप है. इसे केवल गोले की क्षमता के रूप में परिभाषित किया जा सकता है. एक द्वि-आयामी आकृति वृत्त के घूर्णन पर एक गोला प्राप्त होता है. गोले का आयतन त्रिज्या पर निर्भर करता है और यह त्रिज्या बढ़ने से बढ़ता है और इसके विपरीत. एक गोले का आयतन यहाँ दिया गया है. गोले का आयतन ज्ञात करने के लिए नीचे दिए गए चरणों का संदर्भ लें.

Volume of a Sphere: परिभाषा, सूत्र और उदाहरण_50.1

गोलाकार सतह क्षेत्र

एक गोले के सतह क्षेत्र को एक गोले की बाहरी सतह के अंदर कवर किए गए क्षेत्र के रूप में परिभाषित किया जाता है. एक गोला एक त्रि-आयामी ठोस वस्तु है और इसके सतह क्षेत्र की गणना निम्नलिखित सूत्र से की जाती है

गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल =  π r2 वर्ग इकाई

यह एक त्रि-आयामी वस्तु है और किसी भी 3d वस्तु के सतह क्षेत्र में निम्नलिखित तीन प्रकार होते हैं:

  • पृष्ठ सतह क्षेत्रफल – यह गोले द्वारा कवर किये गए सभी सतहों का क्षेत्रफल है.
  • पार्श्व सतह क्षेत्रफल –यह आधारों के क्षेत्रफल को छोड़कर गोले का क्षेत्रफल है. यह केवल वस्तु की ऊपरी और निचली सतहों का क्षेत्र है.
  • कुल सतह क्षेत्रफल – यह पक्षों, आधारों, ऊपर और नीचे सहित सतहों का कुल क्षेत्रफल है.

ध्यान दें:एक गोले में कोई समतल सतह मौजूद नहीं होती है इसलिए गोले का कुल क्षेत्रफल = गोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

Area of Sphere In Hindi

एक गोला एक त्रि-आयामी आकृति है जो केंद्र से समान दूरी पर मौजूद घुमावदार सतहों से घिरा होता है. यह पूरी तरह गोल आकार की आकृति है जैसे फुटबॉल, गेंद आदि. केंद्र से बाहरी सतह के बीच की दूरी को गोले की त्रिज्या कहा जाता है. गोले का क्षेत्रफल त्रि-आयामी अंतरिक्ष में बाहरी सतह के घिरा क्षेत्र है. एक गोले के क्षेत्रफल की गणना करने के सूत्र का उल्लेख यहाँ किया गया है.

Area of Sphere = 4π r

एक गोले के लिए, एक गोले का क्षेत्रफल, वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल, कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल समान होता है और केवल उपरोक्त सूत्र का उपयोग करके इसकी गणना की जाती है.

गोलाकार आकार

गोला एक गोल आकार की त्रि-आयामी आकृति है जो घुमावदार सतहों से घिरा है. इसके कोई किनारे और कोने नहीं हैं और इसे दो-आयामी वृत्त के घूर्णन द्वारा बनाया जा सकता है. एक गोले की सतह पर प्रत्येक बिंदु वृत्त के केंद्र से समान दूरी पर होता है जिसे वृत्त की त्रिज्या से जाना जाता है. आप गेंद या ऊपर दिखाए गए चित्र का उदाहरण लेकर गोले के आकार को समझ सकते हैं.

गोले का आयतन : सूत्र

ग्रीक दार्शनिक आर्किमिडीज ने दो हज़ार साल पहले गोले के आयतन का सूत्र खोजा था। वे यह बताने वाले और साबित करने वाले पहले व्यक्ति थे कि गोले का आयतन, उसे परिबद्ध करने वाले बेलन के आयतन का दो-तिहाई होता है, जो ऐसा सबसे छोटा बेलन हो जिसमें गोले को रखा जा सकता हो। गोलाकार वस्तु को एक बेलन के अंदर रखा जाता है, जहाँ गोलाकार वस्तु की त्रिज्या बेलन के वृत्ताकार आधारों की त्रिज्या के बराबर होती है। गोले का व्यास बेलन की ऊंचाई के बराबर है।

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Volume of a Sphere: परिभाषा, सूत्र और उदाहरण_60.1
गोले का आयतन= बेलन के आयतन का 2/3
गोल का आयतन = 2/3 (πr2h); जहाँ r त्रिज्या है और h बेलन की ऊंचाई है
अब हम जानते हैं कि बेलन की ऊंचाई = गोले का व्यास
अतः,
गोले का आयतन = 2/3 (πr2.2r); व्यास= 2x त्रिज्या
गोले का आयतन = 4/3(πr3)

गोले का आयतन : उदाहरण

Volume of a Sphere: Solved Examples

1. एक गोले की त्रिज्या 11 सेमी है। इसके आयतन की गणना करें

Volume of a Sphere: परिभाषा, सूत्र और उदाहरण_70.1Solution: We are given the radius of the sphere= 11cm

We know that Volume of Sphere= 4/3(πr3)

Volume of sphere= 4/3 (3.14×113)

Volume of sphere= 5572.45 cm3

2. 5 सेमी त्रिज्या वाले गोले का आयतन ज्ञात कीजिए।

Solution: As we know, the volume of a sphere, V = (4/3)πr3
Given, r = 5cm

Thus, the volume of a sphere, V = (4/3)πr3 = (4/3 × π × 53) cm3

V = 4/3×3.14×125

V = 523.33 cm3

3.20 इंच व्यास वाली एक गोलाकार गेंद द्वारा कितनी वायु धारण की जा सकती है?

Solution: We need to find the volume of the ball.
The radius of the ball will be half the diameter = 20/2 inches = 10 inches

Using the volume of sphere formula, the volume of the ball is
Volume of the ball = (4/3)πr= (4/3 × 22/7 × 20^3) = 33523.80 in3
∴ The amount of air that can be held by the spherical ball of diameter 20 inches is 33523.80 cubic inches.

4. एक गोले का आयतन ज्ञात कीजिए जिसकी त्रिज्या 8 सेमी है?

Solution: Given, Radius, r = 8 cm

Volume of a sphere = 4/3 πr3 cubic units

V = 4/3 x 3.14 x 83

V = 4/3 x 3.14 x 8 x 8 x 8

V = 2143.573 cm3

5. उस गोले का आयतन ज्ञात कीजिए जिसका व्यास 12 सेमी है.

Solution: Given, diameter = 12 cm

So, radius = diameter/2 = 12/2 = 6 cm we know the formula of volume of the sphere,

Volume = 4/3 πr3 cubic units

V = 4/3 π 63

V = 4/3 x 22/7 x 6 x 6 x 6

V = 4/3 x 22/7 x 216

V = 905.142 cu. cm.

6. एक खोखला गोला एक कंपनी द्वारा इस तरह से डिजाइन किया गया है कि इसकी मोटाई 10 सेमी और आंतरिक व्यास 6 मीटर है. कंपनी द्वारा डिजाइन किए गए गोले का आयतन कितना होगा?

Solution: Given that the inside diameter is 6 m and thickness is 10 cm, equal to 0.1 m.
Therefore, the outer diameter will be 6 + 0.1 m = 6.1 m.
The volume of a hollow sphere is denoted by: Volume = 4/3 𝜋R3 – 4/3 𝜋r3, where R is the radius of the outer sphere and r is the radius of the inside sphere.
Putting the values in the above equation, we get,
V = 4/3 𝜋 (3.053 – 33) = 4/3 𝜋 (1.37)
Therefore, V = 5.735 m3.

7. एक गोले का आयतन ज्ञात कीजिए यदि उसका पृष्ठीय क्षेत्रफल 100 वर्ग मीटर है.
Solution: We know that the surface area of a sphere is given by S = 4𝜋r, where r is the radius of a sphere.
Therefore, S = 4𝜋r = 100
Finding the value of r, we get, r = 7.96 m
The volume of a sphere is given by V = 4/3  𝜋 r3
Putting the value of r, we get,
V = 4/3 𝜋 (7.96)3 = 2111.58 m3.

8. एक फुटबॉल को पेंट करने के लिए आवश्यक लागत की गणना करें जो एक गोले के आकार में है जिसका त्रिज्या 6 सेमी है.यदि फ़ुटबॉल की पेंटिंग की लागत 2.5 रूपये/वर्ग सेमी है. ( π = 22/7)

Solution: We know,

The total surface area of a sphere =  4 π rsquare units

= 4 × (22/7) × 6 × 6

= 452.16 cm2

Therefore, total cost of painting the container = 2.5×452.16 = 1130.4

9. एक गोले के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल की गणना करें जिसकी त्रिज्या 3.5 सेमी के बराबर है (π= 22/7)

Solution: We know,

Curved surface area = Total surface area = 4 π rsquare units

= 4 × (22/7) × 3.5 × 3.5

Therefore, the curved surface area of a sphere= The volume of 154 cm2

10. यदि एक गोले की त्रिज्या 20 फीट है, तो इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 3.14 का प्रयोग करें).
Solution: Given, that the radius ‘r’ of the sphere = 20 feet.

The surface area of the sphere = 4πr= 4 × π × 202 = 5024 feet2

∴ The surface area of the sphere is 5024 feet2

Volume of a Sphere- FAQs

Que.1 गोले का आयतन परिभाषित करें?

Ans – एक गोले का आयतन त्रि-आयामी अंतरिक्ष में गोले की घुमावदार सतहों के कब्जे वाला क्षेत्र है.

Que.2 एक गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल कितना होता है?

Ans – एक गोले के सतह क्षेत्र को गोले की बाहरी सतहों के कुल क्षेत्रफल के रूप में परिभाषित किया जाता है.

Que.3 वृत्त और गोले में क्या अंतर है?

Ans – एक वृत्त एक द्वि-आयामी आकृति है जबकि एक गोला एक त्रि-आयामी आकृति है. एक वृत्त के घूर्णन द्वारा एक गोला उत्पन्न किया जा सकता है.

Que.4 एक गोले के आयतन की गणना कैसे करें? सूत्र बाताएं.

Ans – एक गोले के आयतन की गणना सूत्र 4/3 r3 द्वारा की जा सकती है

जहाँ r = गोले की त्रिज्या और = 22/7 या 3.14

Que.5 गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र दीजिए?

Ans – गोले के सतह क्षेत्र की गणना करने का सूत्र 4πr^2 है. जहाँ r गोले की त्रिज्या है और = 22/7 = 3.14

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