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वृत्त, सूत्र, गुण और समीकरण के स्पर्शरेखा

स्पर्शरेखा

स्पर्शरेखा: स्पर्शरेखा एक लैटिन शब्द है जिसका अर्थ स्पर्श करना होता है। स्पर्शरेखा को एक सीधी रेखा के रूप में परिभाषित किया जाता है जो किसी एक बिंदु पर वृत्त या दीर्घवृत्त को स्पर्श करती है और वृत्त में प्रवेश नहीं करती है। ज्यामिति में, स्पर्शरेखा एक वृत्त की परिधि के किसी भी बिंदु पर सीधा चूने का स्पर्श है। यहां हम स्पर्शरेखा के अर्थ पर चर्चा करने जा रहे हैं, एक वृत्त की स्पर्शरेखा, एक स्पर्शरेखा की प्रमेय आदि। तो स्पर्शरेखा के बारे में विस्तृत जानकारी प्राप्त करने के लिए इस लेख को पढ़िए।

स्पर्शरेखा का अर्थ

ज्यामिति में, स्पर्शरेखा को किसी एक बिंदु से वृत्त की परिधि तक खींची गई सीधी रेखा के रूप में परिभाषित किया जाता है। इसे उस रेखा के रूप में भी परिभाषित किया जाता है जो उस विशेष बिंदु पर वक्र के ढलान का प्रतिनिधित्व करती है। एक रेखा उस बिंदु को स्पर्श करती है जिसे स्पर्शरेखा कहा जाता है। अपने दैनिक जीवन में हम आसानी से स्पर्शरेखा का अनुभव कर सकते हैं, यदि हम सतह पर एक गेंद या रिंग को घुमाते हैं तो पहिए की परिधि का प्रत्येक बिंदु स्पर्शरेखा बनाता है।

वृत्त की स्पर्श रेखा

स्पर्शरेखा एक रेखा है जो एक वृत्त की परिधि पर एक बिंदु से होकर गुजरती है और कभी भी वृत्त में प्रवेश नहीं करती है। एक वृत्त की अनंत स्पर्श रेखाएँ होती हैं। यह वृत्त को केवल एक बिंदु पर स्पर्श करता है।

एक चाप C पर विचार कीजिए और चाप C के बाहर एक कोई बिंदु है। उस बिंदु से C तक खींची गई एक सीधी रेखा बिंदु P पर एक वृत्त की परिधि को स्पर्श करती है जिसे स्पर्शरेखा बिंदु के रूप में जाना जाता है। यह एक स्पर्शरेखा का एक उदाहरण है। ऊपर की आकृति में स्पर्शरेखा को स्पष्ट रूप से दिखाया गया है।

स्पर्शरेखा का बिंदु

स्पर्शरेखा बिंदु वह बिंदु है जिस पर सीधी रेखा गुजरती है या उसे छूती है। उपरोक्त आकृति बिंदु में, P स्पर्शरेखा का बिंदु है।

स्पर्शरेखा के गुण

स्पर्शरेखा के महत्वपूर्ण गुण निम्नलिखित हैं:

  • स्पर्शरेखा वृत्त की परिधि के किसी एक बिंदु पर स्पर्श करती है या उसे काटती है।
  • स्पर्शरेखा कभी भी वृत्त के अंदर प्रवेश नहीं करती है।
  • एक स्पर्शरेखा परिधि पर बिंदु को समकोण पर काटती है।

स्पर्शरेखा सूत्र

त्रिकोणमिति में, स्पर्शरेखा समकोण त्रिभुज की विपरीत भुजा की आसन्न भुजा की लंबाई का अनुपात है। इसे एक न्यून कोण के ज्या से कोज्या फलन के रूप में भी परिभाषित किया जाता है जैसे कि कोज्या फलन का मान शून्य के बराबर न हो। स्पर्शरेखा कुल छह कार्यों में से एक महत्वपूर्ण त्रिकोणमितीय फलन है।

एक समकोण त्रिभुज ABC पर विचार करें जिसमें कोण ABC है, AB कर्ण है, BC आसन्न भुजा है और AC क्रमशः विपरीत भुजा है।

Tanθ = Sinθ/Cosθ

त्रिकोणमिति में, कर्ण के प्रतिच्छेदन और समकोण त्रिभुज की ऊँचाई के बीच एक रेखा के ढलान का प्रतिनिधित्व करने के लिए स्पर्शरेखा फ़ंक्शन का उपयोग किया जाता है। त्रिकोणमिति और ज्यामिति दोनों में स्पर्शरेखा फ़ंक्शन का उपयोग उत्पत्ति से संबंधित कई वस्तुओं के ढलान को खोजने के लिए किया जाता है।

स्पर्शरेखा के अनुप्रयोग

कई क्षेत्रों में स्पर्शरेखा के कई अनुप्रयोग हैं। कुछ महत्वपूर्ण अनुप्रयोग नीचे सूचीबद्ध हैं:

  • मैक्सिमा और मिनिमा प्रश्नों को हल करने में
  • वक्र रेखाचित्रण में
  • दूरी, वेग और त्वरण समस्याओं में
  • सन्निकटन कार्य
  • मूल्यांकित कार्यों को हल करने में
  • ऊंचाई और दूरी की समस्याओं में
  • ढाल और ढलान विश्लेषण में

स्पर्शरेखा के समीकरण

किसी भी वक्र पर विचार कीजिए, जिस पर एक स्पर्श रेखा परिधि पर स्थित एक बिंदु और उस पर खींचे गए एक बिंदु से होकर गुजरती है। फिर हम इससे स्पर्शरेखा का समीकरण प्राप्त करने जा रहे हैं।

हम जानते हैं कि एक सीधी रेखा का समीकरण किसी भी बिंदु (x0, y0) से होकर जाता है जिससे ढलान m बनता है। ढलान का समीकरण निम्नलिखित द्वारा दिया गया है-

y – y0 = m (x – x0)

वक्र f(x)=y पर एक मूल बिंदु (x0, y0) पर स्पर्शरेखा रेखा का ढलान निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है

dy/dx (x0, y0) = [f’ (x0)]

इसलिए वक्र y=f(x) के साथ स्पर्शरेखा (x0, y0) का समीकरण निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है

y – y0 = f ′(x0)(x – x0)

सामान्यतया अभिलम्ब स्पर्श रेखा के लंबवत होता है। अत: वक्र f(x)=y के बिंदु (x0, y0) पर अभिलम्ब प्रवणता द्वारा दिया जाता है

y-y0 = [-1/f’(x0)] (x-x0)

उपरोक्त समीकरण को इस प्रकार भी लिखा जा सकता है

(y-y0) f’(x0) + (x-x0) = 0

प्रश्न. स्पर्शरेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए यदि वक्र को एक सीधी रेखा के समीकरण y=x^3+2x^2-7x+1 द्वारा दिया जाता है।

हल: दिया गया समीकरण: y=x^3+2x^2-7x+1

प्रवणता प्राप्त करने के लिए उपरोक्त समीकरण को x के सापेक्ष विभेदित करना, dy/dx = 3x^2+4x-7

बिंदु x=3 पर प्रवणता होगी, m=3(3)^2+4×3-7, m=32

c प्राप्त करने के लिए m=32, x=3, और y=2 लगाने पर y=mx+c के रूप में स्पर्शरेखा का समीकरण,

y=mx+c
2=32×3+c
c=-94

तब स्पर्शरेखा का समीकरण होगा, y=mx+c, y=32x-94

स्पर्शरेखा: अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

प्रश्न.1 स्पर्शरेखा को परिभाषित करें?

उत्तर – स्पर्शरेखा एक सीधी रेखा है जो वृत्त की परिधि पर किसी एक बिंदु पर गुजरती है जो कभी भी वृत्त के अंदर प्रवेश नहीं करती है।

प्रश्न.2 स्पर्शरेखा का बिंदु क्या है?

उत्तर – जिस बिंदु पर सीधी रेखा गुजरती है उसे स्पर्शरेखा बिंदु कहा जाता है।

प्रश्न.3 वृत्त से कितनी स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं?

उत्तर – वृत्त में अनंत स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं। एक वृत्त की परिधि पर अनंत बिंदु होते हैं और इससे अनंत स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं। एक रेखा को केवल स्पर्शरेखा रेखा कहा जाता है।

प्रश्न.4 क्या स्पर्शरेखा वृत्त के अंदर प्रवेश कर सकती है?

उत्तर – नहीं, वृत्त को प्रेरित करने के लिए स्पर्श रेखाएं कभी भी प्रविष्ट नहीं की जा सकतीं। यह एक बिंदु से गुजरता है। यदि यह वृत्त के भीतर प्रवेश करती है तो इसे वृत्त की जीवा कहा जाएगा।

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