Square Roots परिभाषा, विधि और Cube Roots लिस्ट

Square Roots: किसी संख्या का वर्गमूल किसी संख्या का गुणनफल होता है जिसे स्वयं से गुणा करने पर वास्तविक संख्या का विभाजन हो जाता है. वर्गमूल किसी संख्या का वर्ग करने की बिल्कुल विपरीत विधि है. किसी संख्या का वर्ग करने पर उसी संख्या को एक संख्या का वर्ग देकर गुणा किया जाता है जबकि वर्गमूल में उस संख्या का वर्ग करने पर मूल संख्या प्राप्त होती है. किसी भी संख्या का वर्ग हमेशा एक धनात्मक संख्या होती है जबकि किसी संख्या के वर्गमूल में धनात्मक और ऋणात्मक दोनों मान होते हैं. हम एक सरल उदाहरण लेकर वर्गमूल और वर्गमूल को आसानी से समझ सकते हैं. मान लीजिए यदि ‘x’ संख्या ‘y’ का एक वर्ग है, जिसका अर्थ है x × x = y लेकिन यदि ‘x’, ‘y’ का वर्गमूल है, तो x2= z.

वर्गमूल

वर्गमूल एक संख्या है जिसे गुणा करने पर मूल संख्या प्राप्त होती है. यह एक गुणनखंड की तरह है, वर्ग और वर्गमूल दोनों एक प्रकार के घातांक हैं. अन्य वर्गमूलों में उस संख्या के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जिसका मान किसी संख्या के 1/2 की घात रखता है. वर्गमूल को निरूपित करने वाला प्रतीक √ है जिसे गणित में मूलांक कहते हैं और अंदर की संख्या या मूलांक कहलाती है. उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि एक संख्या 16 है जिसे 4 से 4 गुणा करके प्राप्त किया जा सकता है अर्थात 4 × 4 = 16 मी, और 16, 4 का एक वर्ग है. और मान लीजिए कि √9 संख्या √32 = 3 का वर्ग करने पर √9 का वर्गमूल 3 है. यहां हम वर्गमूल के बारे में विस्तार से चर्चा करेंगे. तो वर्गमूल को अच्छे तरीके से समझने के लिए नीचे दी गई जानकारी को ध्यानपूर्वक पढ़ें.

वर्ग मूल कैसे ज्ञात करें?

किसी संख्या का वर्गमूल उस संख्या का वर्ग होता है जो मूल संख्या देता है. किसी संख्या का वर्गमूल ज्ञात करते समय सबसे पहले हमें यह ज्ञात करना होता है कि वह संख्या पूर्ण वर्ग है या अपूर्ण. एक पूर्ण वर्ग एक संख्या है जिसे घात 2 के रूप में व्यक्त किया जा सकता है. पूर्ण वर्ग का वर्गमूल अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करके आसानी से पाया जा सकता है. यदि कोई संख्या एक अपूर्ण वर्ग है तो उस पर लंबी विभाजन विधि करने की आवश्यकता है जिसकी चर्चा नीचे लेख में की गई है.

किसी संख्या का वर्गमूल ज्ञात करने के लिए निम्नलिखित चार विधियों का प्रयोग किया जाता है:

• प्राइम फैक्टराइजेशन द्वारा वर्गमूल
• दोहराए गए घटाव विधि द्वारा वर्गमूल
• लॉन्ग डिवीजन विधि द्वारा वर्गमूल
• आकलन विधि द्वारा वर्गमूल

हम उपरोक्त सभी चार विधियों पर एक उपयुक्त उदाहरण के साथ विस्तार से चर्चा करेंगे.

1. प्राइम फैक्टराइजेशन विधि द्वारा वर्गमूल

एक पूर्ण वर्ग संख्या का वर्गमूल अभाज्य गुणनखंड विधि द्वारा आसानी से ज्ञात किया जा सकता है. इस विधि में नीचे सूचीबद्ध किसी संख्या का वर्गमूल ज्ञात करने के लिए कुछ चरणों का पालन करना होता है:

• दी गई संख्या को उसके अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करें.
• समान गुणनखंडों के ऐसे जोड़े बनाएं कि प्रत्येक जोड़ी में दोनों गुणनखंड बराबर हों.
• युग्म में से एक गुणनखंड लीजिए.
• प्रत्येक युग्म से एक गुणनखंड लेकर प्राप्त गुणनखंडों का गुणनफल ज्ञात कीजिए.
• गुणनफल दी गई संख्या का वर्गमूल देता है.

64 = 2×2×2×2×2×2×2

जोड़ी बनाने पर, हमें प्राप्त होता है 2×2×2 = 8

तो 64 का वर्ग मूल 8 है.

2. बार-बार घटाव विधि द्वारा वर्गमूल

दोहराई गई घटाव विधि में, किसी संख्या का वर्गमूल नीचे दिए गए चरणों का पालन करके पाया जा सकता है यदि दी गई संख्या एक पूर्ण वर्ग है.

• दी गई संख्या में से क्रमागत विषम संख्याओं को बार-बार घटाएं
• अंतर शून्य रहने तक घटाएं
• जितनी बार हम घटाएंगे, वह आवश्यक वर्गमूल होगा

उदाहरण के लिए, हम 36 का वर्ग मूल ज्ञात करते हैं

• 36 – 1 = 35
• 35 – 3 = 32
• 32 – 5 = 27
• 27 – 7 = 20
• 20 – 9 = 11
• 11 – 11 = 0

चूंकि इस संख्या को 6 बार घटाया गया है, तो इसका वर्ग मूल 6 है

3. दीर्घ विभाजन विधि द्वारा वर्गमूल

लंबी विभाजन विधि का उपयोग करके अपूर्ण वर्गों के वर्गमूल आसानी से प्राप्त किए जा सकते हैं. विधि को निम्न चरणों द्वारा समझा जा सकता है.

• इकाई के स्थान (दाईं ओर) से शुरू होने वाली संख्या के अंकों के प्रत्येक युग्म पर एक बार लगाएं.
• फिर हम सबसे बाईं ओर की संख्या को सबसे बड़ी संख्या से विभाजित करते हैं जिसका वर्ग सबसे बाएं जोड़े की संख्या से कम या उसके बराबर है.

17.64 का वर्गमूल ज्ञात कीजिये

दीर्घ विभाजन विधि से 17.64 का वर्गमूल 4.2 ज्ञात होता है

4. आकलन विधि द्वारा वर्गमूल

इस विधि में किसी संख्या का वर्गमूल ज्ञात करने के लिए सन्निकटन का प्रयोग किया जाता है. वर्गमूल अनुमानित मान का अनुमान लगाकर ज्ञात किया जा सकता है.

उदाहरण के लिए, हम जानते हैं कि 4 का वर्गमूल 2 है और 9 का वर्गमूल 3 है, इस प्रकार हम अनुमान लगा सकते हैं कि 5 का वर्गमूल 2 और 3 के बीच होगा.

लेकिन, हमें यह जांचना होगा कि √5 का मान 2 या 3 के करीब है. आइए हम वर्ग 2.2 और 2.8 खोजें.

• 2.2² = 4.84
• 2.8² = 7.84

चूँकि 2.2 का वर्ग लगभग 5 देता है, इस प्रकार हम अनुमान लगा सकते हैं कि 5 का वर्गमूल लगभग 2.2 के बराबर है.

4 का वर्गमूल

4 का वर्गमूल √4 से प्रदर्शित होता है. हम जानते हैं कि 4 एक पूर्ण वर्ग है जिसका वर्गमूल अभाज्य गुणनखंड विधि या बार-बार घटाव विधि द्वारा आसानी से पाया जा सकता है. 4 का वर्गमूल 2 है.लेकिन वर्गमूल के दो मान हमेशा सकारात्मक और नकारात्मक होते हैं, जैसा कि हम पहले ही चर्चा कर चुके हैं. अतः √4 के दो मान +2 और -2 हैं.

वर्गमूल 1 से 30

जैसा कि हमने चर्चा की ऊपर वर्णित चार विधियों का उपयोग करके वर्गमूल को आसानी से ज्ञात किया जा सकता है. 1 से 30 तक वर्गमूलों की सूची यहाँ दी गई है.

वर्गमूल और वर्ग

वर्गमूल एक दी गई संख्या से गुणा करने वाला एक कारक है जो मूल संख्या देता है जबकि वर्ग एक संख्या है जिसे स्वयं से गुणा किया जाता है. जड़ और वर्ग दोनों को घातांक माना जाता है. वे दोनों एक दूसरे के विपरीत हैं. वर्ग और वर्गमूल दोनों के उदाहरणों की चर्चा ऊपर की जा चुकी है.

वर्गमूल और घनमूल

किसी भी संख्या का वर्गमूल ज्ञात करने के लिए हमें एक ऐसी संख्या ज्ञात करनी होती है जिसे दो बार गुणा करने पर मूल संख्या प्राप्त हो. इसी प्रकार, किसी भी संख्या का घनमूल ज्ञात करने के लिए हमें एक ऐसी संख्या ज्ञात करनी होती है जिसे तीन बार गुणा करने पर मूल संख्या प्राप्त हो जाती है.

नोटेशन: वर्गमूल को ‘√’ प्रतीक द्वारा दर्शाया जाता है, जबकि घनमूल को ‘∛’ द्वारा दर्शाया जाता है.

उदाहरण:

• √4 = √(2 × 2) = 2
•  ∛27 = ∛(3 × 3 × 3) = 3

वर्गमूल और घनमूल सूची

वर्गमूलों की सूची की नीचे चर्चा की गई है जो छात्रों के लिए आगामी परीक्षाओं की तैयारी को बेहतर करने में सहायक होगी. तो उसी के लिए नीचे दी गई सूची देखें.

Square Roots: FAQs

Que.1 वर्ग क्या हैं?

Ans – वर्ग संख्या का दुगुना गुणन है. उदाहरण के लिए, 25, 5 का वर्ग है अर्थात 5×5 = 25

Que.2 वर्गमूल क्या होते हैं?

Ans – वर्गमूल वर्ग के ठीक विपरीत है. एक संख्या की 1/2 घात है. उदाहरण के लिए, 9 का वर्गमूल 3 है अर्थात √9 = 3

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