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अनुपात और समानुपात: फार्मूला और उदाहरण

इस आर्टिकल में अनुपात और समानुपात पर अध्ययन नोट्स दिए गए हैं, जिसमें अनुपात और समानुपात फार्मूला दिए गए हैं जिन्हें प्रश्नों को हल करने के लिए लागू किया जाना चाहिए। समाधान के साथ उदाहरण भी प्रदान किए गए हैं।

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अनुपात और समानुपात

विभिन्न प्रतियोगी परीक्षाओं से निपटने के दौरान अनुपात और समानुपात एक महत्वपूर्ण विषय है। अनुपात दो राशियों के बीच का संबंध दर्शाता है कि एक मान दूसरे पर कैसे निर्भर है। जबकि समानुपात को पूर्ण संख्या की तुलना में संख्या के एक भाग या भाग के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। इस आर्टिकल में अनुपात और समानुपात पर अध्ययन नोट्स दिए गए हैं, जिसमें अनुपात और समानुपात फार्मूला दिए गए हैं जिन्हें प्रश्नों को हल करने के लिए लागू किया जाना चाहिए। समाधान के साथ उदाहरण भी प्रदान किए गए हैं।

  • अनुपात और समानुपात
a : b ∷ c : d

बीच के पदों का गुणनफल= अंतिम सिरों के पदों का गुणनफल

a×d = b×c
  • चौथा समानुपात
a : b ∷ c : x
x → चौथा समानुपात
x=(b×c)/a
अनुपात और समानुपात प्रश्न

उदहारण. 4,10,12 संख्याओं का चौथा समानुपात ज्ञात कीजिए।

Sol. Fourth Proportion
=(12×10)/4
= 30
  • तीसरा समानुपात → 
a : b ∷ b : x
x → तीसरा समानुपात
a, b का तीसरा समानुपात = b²/a
अब कुछ और अनुपात और समानुपात की समस्याओं को देखते हैं

संख्या 4, 12 का तीसरा समानुपात ज्ञात कीजिये।

Sol. Third Proportion
=(12×12)/4
= 36
  • माध्य समानुपात  
a : x ∷ x : b
x → Mean Proportion
ab का माध्य समानुपात दिया गया है= √ab
अनुपात और समानुपात के उदाहरण: 4, 16 का माध्य अनुपात ज्ञात कीजिए?
Sol. Mean proportion = √(4×16)
=√64
= 8
  • यदि दो संख्याएं a : b के अनुपात में हैं और उनका योग x है, तो यह संख्याएं होंगी
ax/(a+b)  &  bx/(a+b)
  • यदि तीन संख्याएं a : b : c के अनुपात में हैं और उनका योग x है, तो यह संख्याएं हैं
ax/(a+b+c) ,   bx/(a+b+c)  &  cx/(a+b+c)
  • यदि a : b = n₁ : d₁ और b : c = n₂ : d₂
तो a : b : c = n₁ × n₂ : n₂ × d₁ : d₁ × d₂
उदहारण. यदि A : B = 3 : 5 और B : C = 9 : 10, तो A : B : C
Sol. A : B = 3 : 5
B : C = 9 : 10
A : B : C = 3 × 9 : 9 × 5 : 5 × 10
= 27 : 45 : 50
  • यदि a : b = n₁ : d₁ , b : c = n₂ : d₂ , c : d = n₃ : d₃
a : b : c : d = n₁ × n₂ × n₃ : d₁ × n₂ × n₃ : d₁ × d₂ × n₃ : d₁ × d₂ × d₃
उदहारण. यदि A : B = 2 : 3, B : C = 4 : 5, C : D = 6 : 7. तो A : B : C : D.
Sol. A : B : C : D = 2 × 4 × 6 : 3 × 4 × 6 : 3 × 5 × 6 : 3 × 5 × 7
= 48 : 72 : 90 : 105
= 16 : 24 : 30 : 35
  • यदि दो संख्याएं a : b के अनुपात में हैं और दोनों संख्याओं में x जोड़ दिया जाता है, तो अनुपात c : d हो जाता है| तो दो संख्याएं दी गई हैं
ax(c-d)/(ad-bc) & bx (c-d)/(ad-bc)
उदहारण. यदि दो संख्याएं 3 : 4 के अनुपात में हैं। दोनों संख्याओं में 8 जोड़ दिया जाता है, तो यह अनुपात 5 : 6 हो जाता है। संख्यायें ज्ञात कीजिए।
Sol. 1st Number
=(3×8 (5-6))/(3×8-5×4)
=(24 (-1))/(-2)=12
Number=(4×8 (5-6))/(3×6-5×4)
=(32×(-1))/((-2))=16
  • यदि दो संख्यायें a : b के अनुपात में हैं, तो वह संख्या जो प्रत्येक संख्या में जोड़ी जानी चाहिए ताकि यह अनुपात c : d हो जाए
(ad-bc)/(c-d)
Example. वह संख्या ज्ञात कीजिए जिसे 11 : 20 के अनुपात के बराबर बनाने के लिए 11 : 29  के अनुपात में जोड़ा जाना चाहिए।
Sol. Number =(ad – bc)/(c – d)
=(11×20-29×11)/(11-20)=11
  • दो व्यक्तियों की आय का अनुपात है → a : b और उनके व्यय का अनुपात है → c : d है. यदि प्रत्येक व्यक्ति की बचत S है, तो उनकी आय है
aS(d-c)/(ad-bc)  &  bS(d-c)/(ad-bc)
और उनका व्यय दिया गया है
cS(b-a)/(ad-bc)  &  dS(b-a)/(ad-bc)
Example. A और B का वार्षिक वेतन 5 : 4 के अनुपात में है  और उनका वार्षिक व्यय 4:3 के अनुपात में है। यदि वर्ष के अंत में प्रत्येक व्यक्ति 800 रुपए बचाता है, तो उनकी आय ज्ञात कीजिए।
Sol. A’s Incomes
=(5×500(3-4))/(15-16)b
= 2500 Rs.
B’s Income
=(4×500(3-4))/(15-16)=2000 Rs.
  • जब q₁ & q₂ मात्रा वाली दो सामग्री A और B, जिनका प्रति इकाई क्रयमूल्य क्रमशः c₁ & c₂ है, को एक मिश्रण c प्राप्त करने के लिए मिश्रित किया जाता है, जिसका क्रयमूल्य cm/है, तो
(a) A & B किस अनुपात में मिलाए जाते है
(q₁)/q₂ =(c₂-cm)/(cm-c₁ )
(b) मिश्रण का क्रय मूल्य
cm = (c₁×q₁+c₂×q₂)/(q₁+q₂)
Example. किस अनुपात में दो प्रकार की चाय को मिश्रित किया जाना चाहिए, जिसमें एक 9रु/ कि.ग्रा तथा दूसरी 15 रु /किलोग्राम है, ताकि मिश्रण का मूल्य 10.2रु / कि.ग्रा हो जाए?
Sol.
q₁/q₂ =(15-10.2)/(10.2-9)=4.8/1.2
= 4 : 1
Example. दो प्रकार के तेल O₁ & O₂ के एक मिश्रण में, O₁ : O₂ का अनुपात 3 : 2 है, यदि तेल O₁ का मूल्य 4रु./ली. है और तेल O₂ का मूल्य 9 रु./ली है, तो परिणामी मिश्रण का क्रय मूल्य ज्ञात कीजिए।
Sol.
c_m=(c₁×q₁+c₂×q₂)/(q₁+q₂ )
=(4×3+9×2)/(3+2)
=(12+18)/5=30/5=Rs.6

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