Ratio and Proportion: अनुपात और समानुपात क्वांटिटेटिव एप्टीट्यूड के महत्वपूर्ण स्कोरिंग विषयों में से एक है। आगामी महीनों में SSC CGL, SSC CHSL आदि जैसी कई परीक्षाएं होने वाली हैं, उम्मीदवारों ने कठिन वर्गों के लिए पूरी तरह से तैयारी शुरू कर दी होगी। अनुपात और समानुपात पर विशेष ध्यान देने के साथ लगभग हर सरकारी नौकरी परीक्षा में मात्रात्मक क्षमता के प्रश्न पूछे जाते हैं। यहां हम आपको प्रश्नों को हल करने के लिए परिभाषाओं, सूत्रों, टिप्स और ट्रिक्स सहित अनुपात और समानुपात पर क्विक रिवीज़न नोट्स प्रदान कर रहे हैं।
अनुपात और समानुपात
अनुपात और समानुपात मूल रूप से भिन्न हैं। जब भिन्न को a: b के रूप में दर्शाया जाता है, तो यह एक अनुपात होता है और एक समानुपात बताता है कि दो अनुपात बराबर हैं। a और b कोई दो पूर्णांक हैं। अनुपात और समानुपात दो महत्वपूर्ण अवधारणाएँ हैं, और यह गणित में विभिन्न अवधारणाओं को समझने का आधार है।
अनुपात क्या है?
अनुपात को दो मात्राओं के बीच संबंध के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जैसे कि a: b, जहां b, 0 के बराबर नहीं है। अनुपात में दो संख्याओं की तुलना केवल तभी की जा सकती है जब वे एक ही इकाई में हो। अनुपात का उपयोग दो चीजों की तुलना करने के लिए किया जाता है। अनुपात को ‘:’ चिह्न से प्रदर्शित किया जाता है। अनुपात को निम्नानुसार दर्शाया जा सकता है।
- a to b
- a: b
- a/b
For Example, 4 के 8 से अनुपात को 4:8 = 1:2 के रूप में दर्शाया गया है। और कथन को समानुपात में कहा गया है
समानुपात क्या है?
समानुपात एक समीकरण है जो परिभाषित करता है कि दो दिए गए अनुपात एक दूसरे के बराबर हैं। समानुपात में, यदि दी गई संख्याओं के दो सेट एक ही अनुपात में बढ़ या घट रहे हैं, तो अनुपातों को एक दूसरे के सीधे आनुपातिक कहा जाता है। समानुपात 3 प्रकार के होते हैं अर्थात
- प्रत्यक्ष समानुपात
- व्युत्क्रमानुपात
- क्रमशः समानुपात
अनुपात और समानुपात सूत्र
- अनुपात और समानुपात
- चतुर्थ समानुपाती
उदहारण. 4,10,12 संख्याओं का चौथा समानुपात ज्ञात कीजिए।
- तृतीय समानुपाती →
संख्या 4, 12 का तृतीय समानुपाती ज्ञात कीजिये।
- माध्य समानुपाती
अनुपात और समानुपात के ट्रिक्स
आइए यहां अनुपात और समानुपात टॉपिक पर आधारित प्रश्नों को हल करने के लिए कुछ नियम और ट्रिक्स सीखें।
- यदि u/v = x/y, तो uy = vx
- यदि u/v = x/y, तो u/x = v/y
- यदि u/v = x/y, तो v/u = y/x
- यदि u/v = x/y, तो (u+v)/v = (x+y)/y
- यदि u/v = x/y, तो (u-v)/v = (x-y)/y
- यदि u/v = x/y, तो (u+v)/ (u-v) = (x+y)/(x-y), (कॉम्पोनेंडो-डिविडेंडों नियम)
- यदि a/(b+c) = b/(c+a) = c/(a+b) और a+b+ c ≠0,तो a =b = c
अनुपात और समानुपात के उदाहरण:
4, 16 का माध्य समानुपाती ज्ञात कीजिए?
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- यदि दो संख्याएं a : b के अनुपात में हैं और उनका योग x है, तो यह संख्याएं होंगी-
ax/(a+b) & bx/(a+b)
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- यदि तीन संख्याएं a : b : c के अनुपात में हैं और उनका योग x है, तो यह संख्याएं हैं
ax/(a+b+c) , bx/(a+b+c) & cx/(a+b+c)
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- यदि a : b = n₁ : d₁ और b : c = n₂ : d₂
तो a : b : c = n₁ × n₂ : n₂ × d₁ : d₁ × d₂
- यदि a : b = n₁ : d₁ , b : c = n₂ : d₂ , c : d = n₃ : d₃
- यदि दो संख्याएं a : b के अनुपात में हैं और दोनों संख्याओं में x जोड़ दिया जाता है, तो अनुपात c : d हो जाता है| तो दो संख्याएं दी गई हैं
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- यदि दो संख्यायें a : b के अनुपात में हैं, तो वह संख्या जो प्रत्येक संख्या में जोड़ी जानी चाहिए ताकि यह अनुपात c : d हो जाए
(ad-bc)/(c-d)
- दो व्यक्तियों की आय का अनुपात है → a : b और उनके व्यय का अनुपात है → c : d है. यदि प्रत्येक व्यक्ति की बचत S है, तो उनकी आय है
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- जब q₁ & q₂ मात्रा वाली दो सामग्री A और B, जिनका प्रति इकाई क्रयमूल्य क्रमशः c₁ & c₂ है, को एक मिश्रण c प्राप्त करने के लिए मिश्रित किया जाता है, जिसका क्रयमूल्य cm/है, तो
(a) A & B किस अनुपात में मिलाए जाते है(q₁)/q₂ =(c₂-cm)/(cm-c₁ )(b) मिश्रण का क्रय मूल्यcm = (c₁×q₁+c₂×q₂)/(q₁+q₂)Example. किस अनुपात में दो प्रकार की चाय को मिश्रित किया जाना चाहिए, जिसमें एक 9रु/ कि.ग्रा तथा दूसरी 15 रु /किलोग्राम है, ताकि मिश्रण का मूल्य 10.2रु / कि.ग्रा हो जाए?Sol.q₁/q₂ =(15-10.2)/(10.2-9)=4.8/1.2= 4 : 1Example. दो प्रकार के तेल O₁ & O₂ के एक मिश्रण में, O₁ : O₂ का अनुपात 3 : 2 है, यदि तेल O₁ का मूल्य 4रु./ली. है और तेल O₂ का मूल्य 9 रु./ली है, तो परिणामी मिश्रण का क्रय मूल्य ज्ञात कीजिए।Sol.c_m=(c₁×q₁+c₂×q₂)/(q₁+q₂ )=(4×3+9×2)/(3+2)=(12+18)/5=30/5=Rs.6