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अनुपात और समानुपात- देखें परिभाषा, उदाहरण और संबंधित सूत्र

Ratio and Proportion: संपूर्ण संख्यात्मक अभियोग्यता में अनुपात और समानुपात महत्वपूर्ण स्कोरिंग विषयों में से एक है। आने वाले महीनों में SSC CGL Tier 2, SSC CHSL आदि जैसी कई परीक्षाएं होने वाली हैं, उम्मीदवारों ने कठिन वर्गों के लिए अच्छी तरह से तैयारी शुरू कर दी होगी। अनुपात और अनुपात पर विशेष ध्यान देने के साथ ही लगभग हर सरकारी नौकरी परीक्षा में मात्रात्मक क्षमता के प्रश्न पूछे जाते हैं। अनुपात दो राशियों के बीच का संबंध दर्शाता है कि एक मान दूसरे पर कैसे निर्भर है। जबकि समानुपात को पूर्ण संख्या की तुलना में संख्या के एक भाग या भाग के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। इस आर्टिकल में अनुपात और समानुपात पर अध्ययन नोट्स दिए गए हैं, जिसमें अनुपात और समानुपात फार्मूला दिए गए हैं जिन्हें प्रश्नों को हल करने के लिए लागू किया जाना चाहिए। यहां हम आपको प्रश्नों को हल करने के लिए परिभाषा, सूत्र, टिप्स और ट्रिक्स से शुरू होने वाले राशन और अनुपात के बारे में विस्तृत जानकारी प्रदान कर रहे हैं।

अनुपात और समानुपात

अनुपात और समानुपात मूल रूप से भिन्न हैं। जब भिन्न को a:b के रूप में दर्शाया जाता है, तो यह एक अनुपात होता है और एक समानुपात बताता है कि दो अनुपात बराबर हैं। a और b कोई दो पूर्णांक हैं। अनुपात और समानुपात दो महत्वपूर्ण अवधारणाएँ हैं, और यह गणित में विभिन्न अवधारणाओं को समझने का आधार है।

अनुपात क्या है?

अनुपात को दो मात्राओं के बीच संबंध के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जैसे कि a: b, जहां b, 0 के बराबर नहीं है। अनुपात में दो संख्याओं की तुलना केवल तभी की जा सकती है जब वे एक ही इकाई में हो। अनुपात का उपयोग दो चीजों की तुलना करने के लिए किया जाता है। अनुपात को ‘:’ चिह्न से प्रदर्शित किया जाता है। अनुपात को निम्नानुसार दर्शाया जा सकता है।

  1. a to b
  2. a: b
  3. a/b

For Example, 4 के 8 से अनुपात को 4:8 = 1:2 के रूप में दर्शाया गया है। और कथन को समानुपात में कहा गया है

समानुपात क्या है?

समानुपात एक समीकरण है जो परिभाषित करता है कि दो दिए गए अनुपात एक दूसरे के बराबर हैं। समानुपात में, यदि दी गई संख्याओं के दो सेट एक ही अनुपात में बढ़ या घट रहे हैं, तो अनुपातों को एक दूसरे के सीधे आनुपातिक कहा जाता है। समानुपात 3 प्रकार के होते हैं अर्थात

  1. Direct Proportion
  2. Inverse Proportion
  3. Continued Proportion

अनुपात और समानुपात सूत्र

  • अनुपात और समानुपात
a : b ∷ c : d
बीच के पदों का गुणनफल= अंतिम सिरों के पदों का गुणनफल
a×d = b×c
    • चौथा समानुपाती
    a : b ∷ c : x
    x → चौथा समानुपाती
    x=(b×c)/a
अनुपात और समानुपात के प्रश्न:

उदहारण. 4,10,12 संख्याओं का चौथा समानुपात ज्ञात कीजिए।

Sol. Fourth Proportion
=(12×10)/4
= 30
    • तीसरा समानुपाती → 
    a : b ∷ b : x
    x → तीसरा समानुपाती
    a, b का तीसरा समानुपाती = b²/a

     

अब कुछ और अनुपात और समानुपात के प्रश्नों को देखते हैं

संख्या 4, 12 का तीसरा समानुपाती ज्ञात कीजिये।

Sol. तीसरा समानुपाती
=(12×12)/4
= 36
  • माध्य समानुपाती  
a : x ∷ x : b
x → माध्य समानुपाती 
ab का माध्य समानुपाती  है= √ab

अनुपात और समानुपात के उदाहरण:

4, 16 का माध्य समानुपाती  ज्ञात कीजिए?
Sol. माध्य समानुपाती = √(4×16)
=√64
= 8
    • यदि दो संख्याएं a : b के अनुपात में हैं और उनका योग x है, तो यह संख्याएं होंगी-
    ax/(a+b)  &  bx/(a+b)
    • यदि तीन संख्याएं a : b : c के अनुपात में हैं और उनका योग x है, तो यह संख्याएं हैं
    ax/(a+b+c) ,   bx/(a+b+c)  &  cx/(a+b+c)
    • यदि a : b = n₁ : d₁ और b : c = n₂ : d₂
    तो a : b : c = n₁ × n₂ : n₂ × d₁ : d₁ × d₂
उदहारण- यदि A : B = 3 : 5 और B : C = 9 : 10, तो A : B : C
Sol. A : B = 3 : 5
B : C = 9 : 10
A : B : C = 3 × 9 : 9 × 5 : 5 × 10
= 27 : 45 : 50
  • यदि a : b = n₁ : d₁ , b : c = n₂ : d₂ , c : d = n₃ : d₃
a : b : c : d = n₁ × n₂ × n₃ : d₁ × n₂ × n₃ : d₁ × d₂ × n₃ : d₁ × d₂ × d₃
उदहारण- यदि A : B = 2 : 3, B : C = 4 : 5, C : D = 6 : 7. तो A : B : C : D.
Sol. A : B : C : D = 2 × 4 × 6 : 3 × 4 × 6 : 3 × 5 × 6 : 3 × 5 × 7
= 48 : 72 : 90 : 105
= 16 : 24 : 30 : 35
  • यदि दो संख्याएं a : b के अनुपात में हैं और दोनों संख्याओं में x जोड़ दिया जाता है, तो अनुपात c : d हो जाता है| तो दो संख्याएं दी गई हैं
ax(c-d)/(ad-bc) & bx (c-d)/(ad-bc)
उदहारण. यदि दो संख्याएं 3 : 4 के अनुपात में हैं। दोनों संख्याओं में 8 जोड़ दिया जाता है, तो यह अनुपात 5 : 6 हो जाता है। संख्यायें ज्ञात कीजिए।
Sol. 1st Number
=(3×8 (5-6))/(3×8-5×4)
=(24 (-1))/(-2)=12
Number=(4×8 (5-6))/(3×6-5×4)
=(32×(-1))/((-2))=16
    • यदि दो संख्यायें a : b के अनुपात में हैं, तो वह संख्या जो प्रत्येक संख्या में जोड़ी जानी चाहिए ताकि यह अनुपात c : d हो जाए
    (ad-bc)/(c-d)
Example. वह संख्या ज्ञात कीजिए जिसे 11 : 20 के अनुपात के बराबर बनाने के लिए 11 : 29  के अनुपात में जोड़ा जाना चाहिए।
Sol. Number =(ad – bc)/(c – d)
=(11×20-29×11)/(11-20)=11
  • दो व्यक्तियों की आय का अनुपात है → a : b और उनके व्यय का अनुपात है → c : d है. यदि प्रत्येक व्यक्ति की बचत S है, तो उनकी आय है
aS(d-c)/(ad-bc)  &  bS(d-c)/(ad-bc)
और उनका व्यय दिया गया है
cS(b-a)/(ad-bc)  &  dS(b-a)/(ad-bc)
Example. A और B का वार्षिक वेतन 5 : 4 के अनुपात में है  और उनका वार्षिक व्यय 4:3 के अनुपात में है। यदि वर्ष के अंत में प्रत्येक व्यक्ति 800 रुपए बचाता है, तो उनकी आय ज्ञात कीजिए।
Sol. A’s Incomes
=(5×500(3-4))/(15-16)b
= 2500 Rs.
B’s Income
=(4×500(3-4))/(15-16)=2000 Rs.
    • जब q₁ & q₂ मात्रा वाली दो सामग्री A और B, जिनका प्रति इकाई क्रयमूल्य क्रमशः c₁ & c₂ है, को एक मिश्रण c प्राप्त करने के लिए मिश्रित किया जाता है, जिसका क्रयमूल्य cm/है, तो
    (a) A & B किस अनुपात में मिलाए जाते है
    (q₁)/q₂ =(c₂-cm)/(cm-c₁ )
    (b) मिश्रण का क्रय मूल्य
    cm = (c₁×q₁+c₂×q₂)/(q₁+q₂)
    Example. किस अनुपात में दो प्रकार की चाय को मिश्रित किया जाना चाहिए, जिसमें एक 9रु/ कि.ग्रा तथा दूसरी 15 रु /किलोग्राम है, ताकि मिश्रण का मूल्य 10.2रु / कि.ग्रा हो जाए?
    Sol.
    q₁/q₂ =(15-10.2)/(10.2-9)=4.8/1.2
    = 4 : 1
    Example. दो प्रकार के तेल O₁ & O₂ के एक मिश्रण में, O₁ : O₂ का अनुपात 3 : 2 है, यदि तेल O₁ का मूल्य 4रु./ली. है और तेल O₂ का मूल्य 9 रु./ली है, तो परिणामी मिश्रण का क्रय मूल्य ज्ञात कीजिए।
    Sol.
    c_m=(c₁×q₁+c₂×q₂)/(q₁+q₂ )
    =(4×3+9×2)/(3+2)
    =(12+18)/5=30/5=Rs.6

गणित के नोट्स: यहाँ पायें गणित के सभी महत्वपूर्ण टॉपिक के नोट्स

Ratio and Proportion: FAQ

Q. अनुपात और समानुपात क्या हैं?

Ans: अनुपात एक ही इकाई वाली मात्राओं के बीच तुलना है। यह पहली मात्रा को दूसरी मात्रा से विभाजित करके प्राप्त किया जाता है।

Q. अनुपात और समानुपात का सूत्र क्या है?

Ans: किन्हीं दो राशियों के अनुपात सूत्र को a: b a/b के रूप में व्यक्त किया जाता है। दूसरी ओर, समानुपात सूत्र a:b::c:d⟶ab=cda:b::c:d⟶ab=cd के रूप में व्यक्त किया जाता है।

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