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औसत (Average) : स्टडी नोट्स और उदाहरण

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Average Notes

औसत को संख्याओं के एक निश्चित समूह के माध्य के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। औसत पर आधारित प्रश्न विभिन्न प्रतियोगी परीक्षाओं विशेषकर सरकारी नौकरी परीक्षाओं में पूछे जाते हैं। उम्मीदवारों को औसत पर प्रश्नों को हल करने के लिए आवश्यक विधि के बारे में पता होना चाहिए। हम आपको उदाहरण के साथ औसत पर आधारित स्टडी नोट्स प्रदान कर रहे हैं।

Average Formula & Tricks

औसत = (मात्राओं का योग) / (मात्राओं की संख्या)
  • दो या दो से अधिक समूहों का औसत

(a) यदि दो समूहों में मात्राओं की संख्या n₁ और n₂ है और उनका औसत क्रमशः x और y है, तो संयुक्त औसत (उन सभी का औसत एक साथ रखा जाता है)

(n₁ x+n₂ y)/(n₁+n₂ )


(b) यदि n₁ मात्राओं का औसत x है और n₂ मात्राओं का औसत y है, तो शेष समूह (शेष मात्राओं) का औसत होगा

(n₁ x-n₂ y)/(n₁ – n₂ )


Q. कक्षा के अनुभाग A के 24 छात्रों का औसत वजन 58 किलोग्राम है जबकि इस कक्षा के अनुभाग B के 26 छात्रों का औसत वजन 60.5 किलोग्राम है. कक्षा के सभी 50 छात्रों का औसत वजन ज्ञात कीजिये.

Sol. Here n₁ = 24, n₂ = 26, x = 58 and y = 60.5.
∴ Average weight of all the 50 students
=(n₁ x+n₂ y)/(n₁+n₂ )
=(24×58+24×60.5)/(24+26)
=(1392+1573)/50=2965/50
= 59.3 kg

  • n मात्राओं का औसत x के बराबर है. यदि दी गई मात्रा में से एक मात्रा जिसका मान p है, उसे q मान  वाली एक नई मात्रा द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, तो औसत y बन जाता है, तो
q = p + n(y – x)


Q. 25 व्यक्तियों का औसत वजन 2 किलोग्राम बढ़ जाता है जब उनमें से एक व्यक्ति जिसका वजन 60 किलोग्राम है, उसे एक नए व्यक्ति द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है. नए व्यक्ति का वजन कितना है?

Sol. The weight of the new person
= p + n(y – x)
= 60 + 25(2) = 110 kg

  • n मात्राओं का औसत x के बराबर. जब एक मात्रा हटा दी जाती है, तो औसत y हो जाता है. हटाई गई मात्रा का मान
n(x – y) + y.
  • n मात्राओं का औसत y के बराबर. जब इसमें एक मात्रा जोड़ दी जाती है, तो औसत y हो जाता है. नई मात्रा का मान
n(y – x) + y.


Q. एक कक्षा के 24 छात्रों और शिक्षक की औसत आयु 16 वर्ष है. यदि शिक्षक की आयु को शामिल नहीं किया जाता है, तो औसत आयु 1 वर्ष कम हो जाती है. शिक्षक की आयु कितनी है?

Sol. The age of class teacher
= n (x – y) + y
= 25 (16 – 15) + 15
= 40 years

  • पहली n प्राकृतिक संख्या का औसत
(n + 1)/2.
  • n तक प्राकृतिक संख्या के वर्ग का औसत
((n + 1)  (2n + 1))/6
  • n तक प्राकृतिक संख्या के घन का औसत
(n (n + 1)²)/4.
  • 1 से n तक विषम संख्याओं का औसत
(last odd number+1)/2.
  • 1 से n तक की सम संख्याओं का औसत
(last even number + 2)/2.

 

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Q. 1 से 40 तक विषम संख्याओं का औसत कितना है?

Sol. The required average
=(last odd number+1)/2
=(39+1)/2
= 20

Q. 1 से 81 तक की सम संख्या का औसत कितना है?

Sol. The required average
=(last even number+2)/2
=(80+2)/2
= 41

  • यदि n विषम है: तो n क्रमागत संख्याओं का औसत, क्रमागत सम संख्याएं या क्रमागत विषम संख्याओं का हमेशा माध्य संख्या होती है.
  • यदि n सम है: तो n क्रमागत संख्याओं का औसत, क्रमागत सम संख्याओं या क्रमागत विषम संख्याओं के मध्य की दो संख्याओं का औसत होता है.
  • पहली n क्रमागत सम संख्याओं का औसत  (n + 1)
  • पहली n क्रमागत विषम संख्याओं का औसत n है.
  • पहले n क्रमागत सम संख्याओं के वर्गों का औसत
(2 (n + 1)  (2n + 1))/3.
  • n तक पहले क्रमागत सम संख्याओं के वर्गों का औसत
((n + 1)  (n + 2))/3.
  • n तक पहले क्रमागत विषम संख्याओं के वर्गों का औसत
(n (n + 2))/3.
  • यदि n क्रमागत संख्याओं का औसत m है, तो सबसे छोटी और सबसे बड़ी संख्या के बीच का अंतर
2 (n – 1).


Q. पहली 19 क्रमागत संख्याओं के वर्गों का औसत ज्ञात कीजिये.

Sol. The required average
=(2 (n+1)(2n+1))/3=(2(19+1)(2×19+1))/3
=(2×20×39)/3=1560/3=520

Q. 1 से 31 तक क्रमागत विषम संख्याओं के वर्गों का औसत ज्ञात कीजिये. 

Sol. The required average
=(n (n+2))/3=(31×(31+2))/3=(31×33)/3=341

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