चतुर्भुज
चतुर्भुज के प्रकार
चतुर्भुज कई प्रकार के हो सकते हैं जिनके सभी के अलग गुण होते हैं। नीचे उल्लिखित चतुर्भुज में प्रत्येक में 4 भुजाएँ और 4 कोण हैं। चतुर्भुज के प्रकार जो हम अपने दैनिक जीवन में अनुभव करते हैं, नीचे दिए गये हैं:
- समान्तर चतुर्भुज
- आयत
- समचतुर्भुज
- वर्ग
- समलंब
- पतंग
चतुर्भुज के गुण:
चतुर्भुज के गुण निम्नलिखित हैं:
- चतुर्भुज के आंतरिक कोणों का कुल योग 360 के बराबर है।
- प्रत्येक चतुर्भुज में 4 भुजाएँ, 4 कोण और 4 शीर्ष होते हैं।
- चतुर्भुज के आसन्न कोण के दो युग्म का योग 180 डिग्री होता है।
| आकार | चतुर्भुज | गुण |
|---|---|---|
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समान्तर चतुर्भुज |
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आयत |
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समचतुर्भुज |
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वर्ग |
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समलंब |
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चतुर्भुज क्षेत्रफल
Area of Quadrilateral: चतुर्भुज का क्षेत्रफल आकृति की भुजाओं के भीतर घिरा हुआ क्षेत्र होता है। इसके चार कोण और चार भुजाएं होते हैं। क्षेत्रफल को आम तौर पर इसके अंदर शामिल क्षेत्र के रूप में परिभाषित किया जाता है। चतुर्भुज नियमित या अनियमित हो सकता है, यदि किसी चतुर्भुज की चारों भुजाएँ समान हों तो उसे नियमित कहा जाता है या यदि उसकी चारों भुजाएँ असमान लंबाई की हों तो अनियमित कहलाती हैं।
चतुर्भुज का क्षेत्रफल वर्ग इकाइयों में मापा जाता है और इसकी गणना उपलब्ध आंकड़ों के आधार पर की जाती है और स्थिति आरेख में दी गई है।
चतुर्भुज सूत्र
चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना आरेख में उपलब्ध आंकड़ों और दी गई शर्तों के अनुसार की जाती है। किसी चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना पारंपरिक सूत्र की तरह दो तरीकों से की जा सकती है और यदि दी गई आकृति ऐसी श्रेणियों से संबंधित नहीं है तो क्षेत्र को दो भागों में विभाजित करके या हीरो के सूत्र या चतुर्भुज की भुजाओं का उपयोग करके पाया जा सकता है।
चतुर्भुज का क्षेत्रफल = ½×विकर्ण की लंबाई×दो शीर्षों से खींचे गए लंब की लंबाई का योग
Area = ½×d×(h1 + h2)
Hero’s Formula = √(s-a) (s-b) (s-c) (s-d) – and cos^2a/2
where s = a+b+c+d/2
a = a1+a2
चतुर्भुज क्षेत्रफल कैलक्यूलेटर
चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना कई प्रकार से की जाती है। चतुर्भुज को दो त्रिभुजों या अन्य विधियों जैसे कि हीरो का सूत्र या भुजाओं में विभाजित किया जाता है। चतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र ऊपर दिखाया गया है। सूत्र की सहायता से दिए गए डेटा का उपयोग करके चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना आसानी से की जा सकती है।
चतुर्भुज का क्षेत्रफल और परिमाप
जैसा कि हमने चर्चा की चतुर्भुज का क्षेत्रफल चारों भुजाओं के अन्दर घिरा हुआ क्षेत्र है। लेकिन चतुर्भुज की परिधि इसकी बाहरी सीमा की कुल लंबाई है। इस पर आधारित चार भुजाओं और चार कोणों वाला चतुर्भुज नियमित या अनियमित दो प्रकार का होता है। एक नियमित चतुर्भुज जिसकी चारों भुजाएँ और कोण बराबर हों लेकिन एक अनियमित चतुर्भुज जिसमें असमान भुजाएँ और कोण हों। परिमाप चतुर्भुज की भुजाओं की कुल लंबाई है। परिधि को लंबाई की इकाई m, cm या mm के रूप में व्यक्त किया जाता है।
चतुर्भुज का परिमाप = L1+L2+L3+L4
जहाँ L1, L2, L3, और L4 चतुर्भुज की संबंधित भुजाओं की लंबाई है
समांतर चतुर्भुज
Example. In a || gm, the adjacent sides are 36 cm and 27 cm in length. If the distance between the longer sides is 12 cm, then the distance between the smaller sides is :
एक समांतर चतुर्भुज में, आसन्न भुजाएँ की लम्बाई 36 सेमी और 27 सेमी हैं. यदि लम्बी भुजाओं के बीच की दूरी 12 सेमी है, तो छोटी भुजाओं के बीच की दूरी क्या है?
(a) 12 cm
(b) 16 cm
(c) 14 cm
(d) 15 cm
आयत
समचतुर्भुज
(a) √3 : 1
(b) √3 : 2
(c) 3 : 1
(d) 3 : 2
वर्ग
Example. ABCD is a square. M is the mid-point of AB and N is the mid-point of BC. DM and AN are joined and they meet at O. Then which of the following is correct?
ABCD एक वर्ग है. M, AB का मध्य-बिंदु है और N, BC का मध्य-बिंदु है. DM और AN जुड़े हुए हैं और वह O पर मिलते हैं. तो निम्नलिखित में से कौन सा सही है?
(a) OA : OM = 1 : 2
(b) AN = MD
(c) ∠ADM = ∠ANB
(d) ∠AMD = ∠BAN
समलंब चतुर्भुज
एक ट्रेपेज़ियम के समानांतर भुजा 2: 3 के अनुपात में हैं और उनकी सबसे कम दूरी 12 सेमी है। यदि ट्रेपेज़ियम का क्षेत्रफल 480 वर्ग सेमी है, तो समानांतर भुजा की लम्बी भुजा की लंबाई कितनी है?
(a) 56 cm
(b) 36 cm
(c) 42 cm
(d) 48 cm
Area of Quadrilateral: Examples
यदि FE∥AC & DE∥AB. यदि ∆BFE का शेत्रफल 16 unit² है और ∆DEC का शेत्रफल 9 units² है तो चतुर्भुज AFED का शेत्रफल ( unit² में) ज्ञात करें.
(a) 12
(b) 36
(c) 14
(d) 24
Q2. A square and a rhombus have the same base and the rhombus is inclined at 30°. What is the ratio of the area of the square to the area of the rhombus :
एक वर्ग और एक विषमकोण का समान आधार है और विषमकोण 30 डिग्री पर झुका हुआ है. वर्ग के क्षेत्रफल का विषमकोण के क्षेत्रफल से अनुपात कितना है?
(a) √2 : 1
(b) 2 : 1
(c) 1 : 1
(d) 2 : √3
Q3. The lengths of the two diagonals of a rhombus are 6 cm and 8 cm. Find the length of its perimeter (in cm).
एक विषमकोण के दो विकर्णों की लंबाई 6 सेमी और 8 सेमी है. इसकी परिधि (सेमी में) की लंबाई ज्ञात कीजिए।
(a) 20
(b) 10
(c) 40
(d) 30
Q4. In equilateral ∆ABC, find the length of altitude(in cm) put from D to BC. If, DEFG is a square & side AB = 2 + √3 cm
समबाहु ∆ABC में, यदि, DEFG एक वर्ग और भुजा AB = 2 + √3 cm है. ऊँचाई (सेमी में) ज्ञात करें यदि D से BC पर हो
(a) 3 + √3
(b) (3 + √3)/2
(c) 1.5 + √3
(d) 3 – √3
Q5. What is the measure of an interior angle of a regular polygon of 10 sides?
10 पक्षों के एक नियमित बहुभुज के आंतरिक कोण का माप क्या है?
(a) 150
(b) 156
(c) 144
(d) 160
Q6. In the given figure, PQR is a triangle and quadrilateral ABCD is inscribed in it. QD = 2 cm, QC = 5 cm, CR = 3 cm, BR = 4 cm, PB = 6 cm, PA = 5 cm and AD = 3 cm. What is the area (in cm^2 ) of the quadrilateral ABCD?
दी गयी आकृति में, PQR एक त्रिभुज है और चतुर्भुज ABCD इसमें अंकित है. QD = 2 सेमी, QC = 5 सेमी, CR = 3 सेमी, BR = 4 सेमी, PB = 6 सेमी, PA = 5 सेमी और AD = 3 सेमी. चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल (cm^2 में) क्या है?
(a) (23√21)/4
(b) (15√21)/4
(c) (17√21)/5
(d) (23√21)/5
Q7. If the diagonals of a quadrilateral bisect each other and are perpendicular, the quadrilateral is:
यदि एक चतुर्भुज के विकर्ण एक दूसरे को द्विविभाजित करते हैं और लंबवत हैं, तो चतुर्भुज क्या होगा?
(a) Rhombus / विषमकोण
(b) Rectangle / आयत
(c) Parallelogram / चतुर्भुज
(d) Trapezium / समलंब
Q8. In fig ABCD is a square and PQ is the diameter of circle with center C. Find ∠PQR = ?
आकृति में, ABCD एक वर्ग है और PQ केंद्र C के वृत्त का व्यास है. ∠PQR का मान ज्ञात करें.
(a) 50°
(b) 60°
(c) 30°
(d) 20°
Q9. Find area of quadrilateral ABCD below shown as a shaded region in given figure, if out of the three squares the middle one (viz. square BHDF) has an area of 36 units². (In units²)
नीचे दिए गए आकृति में एक छायांकित क्षेत्र के रूप में नीचे दिखाए गए चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल ज्ञात करें, यदि तीन वर्गों में से मध्य (अर्थात वर्ग BHDF) का क्षेत्रफल 36 इकाई² है। (इकाइयों में)
(a) 36
(b) 54
(c) 16
(d) 25
Q10. In the given figure, ABCD is a square whose side is 4 cm. P is a point on the side AD. What is the minimum value (in cm) of BP + CP?
दी गयी आकृति में, ABCD एक वर्ग है जिसकी भुजा 4 सेमी है. P, AD भुजा पर एक बिंदु है. BP + CP का न्यूनतम मान (सेमी में) क्या है?
(a) 4√5
(b) 4√4
(c) 6√3
(d) 4√6
