चतुर्भुज : क्षेत्रफल, फार्मूला, प्रकार और उदाहरण

चतुर्भुज एक 2-आयामी आकृति है जिसमें 4 भुजाएँ होती हैं। क्वाड का अर्थ चार होता है और इसलिए चतुर्भुज नाम चार भुजाओं की एक बंद आकृति को दिया जाता है। चतुर्भुज कई प्रकार के होते हैं, जिनमें से प्रत्येक का अपना गुण और क्षेत्रफल का अपना अलग फ़ॉर्मूला होता है। हम आपको हल किए गए प्रश्नों के साथ चतुर्भुज का क्षेत्रफल, फ़ॉर्मूला, प्रकार और उसके गुण बता रहे हैं।

चतुर्भुज के प्रकार

चतुर्भुज कई प्रकार के हो सकते हैं जिनके सभी के अलग गुण होते हैं। नीचे उल्लिखित चतुर्भुज में प्रत्येक में 4 भुजाएँ और 4 कोण हैं। चतुर्भुज के प्रकार जो हम अपने दैनिक जीवन में अनुभव करते हैं, नीचे दिए गये हैं:

  1. समान्तर चतुर्भुज
  2. आयत
  3. समचतुर्भुज
  4. वर्ग
  5. समलंब
  6. पतंग

चतुर्भुज के गुण:

चतुर्भुज के गुण निम्नलिखित हैं:

  • चतुर्भुज के आंतरिक कोणों का कुल योग 360 के बराबर है।
  • प्रत्येक चतुर्भुज में 4 भुजाएँ, 4 कोण और 4 शीर्ष होते हैं।
  • चतुर्भुज के आसन्न कोण के दो युग्म का योग 180 डिग्री होता है।
आकार चतुर्भुज गुण
समान्तर चतुर्भुज
  • विपरीत भुजा समान और समानांतर हैं
  • विपरीत कोण समान हैं
  • विकर्ण एक दूसरे को काटते हैं, लेकिन बराबर नहीं होते।
आयत
  • विपरीत भुजा समान होती है
  • विकर्ण एक दूसरे को काटते हैं, लेकिन बराबर होते हैं।
  • प्रत्येक शीर्ष कोण 90 डिग्री का है
समचतुर्भुज
  • सभी भुजा समान और समानांतर हैं.
  • विकर्ण 90 डिग्री पर एक दूसरे को काटते हैं.
वर्ग
  • सभी भुजा समान है.
  • विकर्ण समान हैं और 90 डिग्री पर एक दूसरे को काटते हैं.
  • प्रत्येक शीर्ष कोण 90 डिग्री का होता है
समलंब  

  • दो भुजा एक दूसरे के समानांतर हैं।
  • ट्रेपेज़ियम के विकर्ण एक दूसरे को काटते हैं।

 
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Area of Quadrilateral: Parallelogram

Example. In a || gm, the adjacent sides are 36 cm and 27 cm in length. If the distance between the longer sides is 12 cm, then the distance between the smaller sides is :
एक समांतर चतुर्भुज में, आसन्न भुजाएँ की लम्बाई 36 सेमी और 27 सेमी हैं. यदि लम्बी भुजाओं के बीच की दूरी 12 सेमी है, तो छोटी भुजाओं के बीच की दूरी क्या है?
(a) 12 cm
(b) 16 cm
(c) 14 cm
(d) 15 cm

Area of Quadrilateral: Rectangle

Area of Quadrilateral: Rhombus

Example.  ABCD is rhombus in which ∠ C = 60°, then AC : BD = ? 
ABCD एक विषमकोण है जिसमें ∠ C = 60°, तो AC : BD = ?

(a) √3 : 1
(b) √3 : 2
(c) 3 : 1
(d) 3 : 2

Area of Quadrilateral: Square

Example.  ABCD is a square. M is the mid-point of AB and N is the mid-point of BC. DM and AN are joined and they meet at O. Then which of the following is correct?
ABCD एक वर्ग है. M, AB का मध्य-बिंदु है और N, BC का मध्य-बिंदु है. DM और AN जुड़े हुए हैं और वह O पर मिलते हैं. तो निम्नलिखित में से कौन सा सही है?
(a) OA : OM = 1 : 2
(b) AN = MD
(c) ∠ADM = ∠ANB
(d) ∠AMD = ∠BAN

Area of Quadrilateral: Trapezium

Example.  The parallel sides of a trapezium are in a ratio 2 : 3 and their shortest distance is 12 cm. If the area of the trapezium is 480 sq. cm., the length of the parallel sides is of length:
एक ट्रेपेज़ियम के समानांतर भुजा 2: 3 के अनुपात में हैं और उनकी सबसे कम दूरी 12 सेमी है। यदि ट्रेपेज़ियम का क्षेत्रफल 480 वर्ग सेमी है, तो समानांतर भुजा की लम्बी भुजा की लंबाई कितनी है?
(a) 56 cm
(b) 36 cm
(c) 42 cm
(d) 48 cm

Area of Quadrilateral: Examples

Q1. Find the area of quadrilateral(in unit²) AFED =? If FE∥AC & DE∥AB. If area of ∆BFE = 16 unit² and Area of ∆DEC = 9 units²
यदि FE∥AC & DE∥AB. यदि ∆BFE का शेत्रफल 16 unit² है और ∆DEC का शेत्रफल 9 units² है तो चतुर्भुज AFED का शेत्रफल ( unit² में) ज्ञात करें.

(a) 12
(b) 36
(c) 14
(d) 24

Q2. A square and a rhombus have the same base and the rhombus is inclined at 30°. What is the ratio of the area of the square to the area of the rhombus :
एक वर्ग और एक विषमकोण का समान आधार है और विषमकोण 30 डिग्री पर झुका हुआ है. वर्ग के क्षेत्रफल का विषमकोण के क्षेत्रफल से अनुपात कितना है?
(a) √2 : 1
(b) 2 : 1
(c) 1 : 1
(d) 2 : √3

Q3. The lengths of the two diagonals of a rhombus are 6 cm and 8 cm. Find the length of its perimeter (in cm).
एक विषमकोण के दो विकर्णों की लंबाई 6 सेमी और 8 सेमी है. इसकी परिधि (सेमी में) की लंबाई ज्ञात कीजिए।
(a) 20
(b) 10
(c) 40
(d) 30

Q4. In equilateral ∆ABC, find the length of altitude(in cm) put from D to BC. If, DEFG is a square & side AB = 2 + √3 cm
समबाहु ∆ABC में, यदि, DEFG एक वर्ग और भुजा AB = 2 + √3 cm है. ऊँचाई (सेमी में) ज्ञात करें यदि D से BC पर हो

(a) 3 + √3
(b) (3 + √3)/2
(c) 1.5 + √3
(d) 3 – √3

Q5. What is the measure of an interior angle of a regular polygon of 10 sides?
10 पक्षों के एक नियमित बहुभुज के आंतरिक कोण का माप क्या है?
(a) 150
(b) 156
(c) 144
(d) 160

Q6. In the given figure, PQR is a triangle and quadrilateral ABCD is inscribed in it. QD = 2 cm, QC = 5 cm, CR = 3 cm, BR = 4 cm, PB = 6 cm, PA = 5 cm and AD = 3 cm. What is the area (in cm^2 ) of the quadrilateral ABCD?
दी गयी आकृति में, PQR एक त्रिभुज है और चतुर्भुज ABCD इसमें अंकित है. QD = 2 सेमी, QC = 5 सेमी, CR = 3 सेमी, BR = 4 सेमी, PB = 6 सेमी, PA = 5 सेमी और AD = 3 सेमी. चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल (cm^2 में) क्या है?

(a) (23√21)/4
(b) (15√21)/4
(c) (17√21)/5
(d) (23√21)/5

Q7. If the diagonals of a quadrilateral bisect each other and are perpendicular, the quadrilateral is:
यदि एक चतुर्भुज के विकर्ण एक दूसरे को द्विविभाजित करते हैं और लंबवत हैं, तो चतुर्भुज क्या होगा?
(a) Rhombus / विषमकोण
(b) Rectangle / आयत
(c) Parallelogram / चतुर्भुज
(d) Trapezium / समलंब

Q8. In fig ABCD is a square and PQ is the diameter of circle with center C. Find ∠PQR = ?
आकृति में, ABCD एक वर्ग है और PQ केंद्र C के वृत्त का व्यास है. ∠PQR का मान ज्ञात करें.

(a) 50°
(b) 60°
(c) 30°
(d) 20°

Q9. Find area of quadrilateral ABCD below shown as a shaded region in given figure, if out of the three squares the middle one (viz. square BHDF) has an area of 36 units². (In units²)
नीचे दिए गए आकृति में एक छायांकित क्षेत्र के रूप में नीचे दिखाए गए चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल ज्ञात करें, यदि तीन वर्गों में से मध्य (अर्थात वर्ग BHDF) का क्षेत्रफल 36 इकाई² है। (इकाइयों में)

(a) 36
(b) 54
(c) 16
(d) 25

Q10. In the given figure, ABCD is a square whose side is 4 cm. P is a point on the side AD. What is the minimum value (in cm) of BP + CP?
दी गयी आकृति में, ABCD एक वर्ग है जिसकी भुजा 4 सेमी है. P, AD भुजा पर एक बिंदु है. BP + CP का न्यूनतम मान (सेमी में) क्या है?

(a) 4√5
(b) 4√4
(c) 6√3
(d) 4√6

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