पाइथागोरस प्रमेय: सूत्र, सत्यापन, उदाहरण और अनुप्रयोग

पाइथागोरस प्रमेय 

पाइथागोरस प्रमेय: पाइथागोरस प्रमेय एक महत्वपूर्ण अवधारणा है जिसका उपयोग गणित में प्रश्नों को हल करते समय किया जाता है।यह प्रमेय एक त्रिभुज के भुजाओं के बीच संबंध स्थापित करता है। पाइथागोरस प्रमेय की उत्पत्ति पाइथागोरस द्वारा की गई थी, जो ईसा पूर्व छठी शताब्दी के एक यूनानी दार्शनिक थे, जिन्होंने इसे समकोण त्रिभुजों का एक आवश्यक गुण घोषित किया था। इसलिए यह प्रमेय उसके नाम पर है। यदि कोई भी त्रिभुज पाइथागोरस प्रमेय का पालन करता है, तो वह निश्चित रूप से एक समकोण त्रिभुज है। आइए पाइथागोरस प्रमेय के कथन, सूत्र, प्रमाण, अनुप्रयोग और उदाहरणों पर एक नज़र डालें।

पाइथागोरस प्रमेय: कथन और सूत्र

समकोण त्रिभुज में, समकोण के सामने की भुजा को कर्ण कहा जाता है और अन्य दो भुजाओं को समकोण त्रिभुज के आधार के रूप में जाना जाता है। कर्ण सबसे लंबी भुजा होती है; और अन्य 2 भुजाओं को लंब और आधार नाम दिया गया है।
पाइथागोरस प्रमेय का कथन: पाइथागोरस प्रमेय में कहा गया है कि “एक समकोण त्रिभुज में, कर्ण का वर्ग, अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है”


ऊपर दी गयी आकृति से, पाइथागोरस प्रमेय के सूत्र को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

AB² + BC² = AC²

पाइथागोरस प्रमेय: सत्यापन

एक समकोण त्रिभुज ABC दिया गया है, जिसमें कोण B समकोण है। माना BD, कर्ण AC पर लम्ब है। हमें प्रमेय पता है कि ” यदि एक समकोण त्रिभुज के समकोण के शीर्ष से कर्ण पर लम्ब खींचा जाता है तो लम्ब के दोनों तरफ के त्रिभुज, बड़े त्रिभुज और एक दूसरे त्रिभुज के समरूप होते हैं”
BD ⊥ AC खींचते है(आकृति में देखें)

∠ A = ∠ A
और ∠ ADB = ∠ ABC
अतः, ∆ ADB ~ ∆ ABC
इसी प्रकार, ∆ BDC ~ ∆ ABC
अब, ∆ ADB ~ ∆ ABC
अतः, AD/AB = AB/AC (भुजाएं समानुपाती होंगी)
या , AD. AC = AB²  (1)
साथ ही, ∆ BDC ~ ∆ ABC
अतः, CD/BC = BC/AC या  CD . AC = BC²   (2)
(1) और (2) को जोड़ने पर,
AD. AC + CD . AC = AB² + BC²
या, AC (AD + CD) = AB² + BC²
या, AC. AC = AB² + BC²
या, AC² = AB² + BC²

पाइथागोरस प्रमेय: अनुप्रयोग


पाइथागोरस प्रमेय के अनुप्रयोग निम्नलिखित है:

  • त्रिभुज पर आधारित प्रश्नों को हल करने के लिए और यह पता लगाने के लिए कि त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है या नहीं
  • किसी वर्ग का विकर्ण निकालने के लिए
  • इस प्रमेय का उपयोग वास्तुकला, काष्ठकला और अन्य भौतिक निर्माण परियोजनाओं में किया जाता है

पाइथागोरस प्रमेय: त्रियक

इस प्रमेय से विभिन्न अवधारणाओं को हल करने के लिए, आपको पाइथागोरस त्रियक को जानना चाहिए।कुछ पाइथागोरस त्रियक नीचे दिए गए हैं:

  • 3, 4, 5
  • 5, 12, 13
  • 7, 24, 25
  • 8, 15, 17
  • 9, 40, 41
  • 11, 60, 61
  • 12, 35, 37
  • 20, 21, 29

पाइथागोरस प्रमेय: उदाहरण और प्रश्न

उदाहरण 1: ∆ ABC का कोण C समकोण है। यदि AC = 5 सेमी और BC = 12 सेमी है, तो AB की लंबाई ज्ञात कीजिए।

दायीं तरफ दी गयी आकृति से,
चूकी त्रिभुज समकोण त्रिभुज है, इसलिए पाइथागोरस प्रमेय,
AB² = AC² + BC²
AB² = 5² + 12²
AB² = 25 + 144
AB² = 169 = 13²
इस प्रकार, AB = 13 सेमी

उदाहरण 2: एक सीढ़ी को एक दीवार से इस प्रकार लगाकर रखी जाती है कि उसका आधार दीवार से 2.5 मीटर की दूरी पर रहता है, और उसका शीर्ष जमीन से 6 मीटर की ऊंचाई पर स्थित एक खिड़की पर लगा होता है। सीढ़ी की लंबाई ज्ञात कीजिए।
माना AB एक सीढ़ी है और CA दिवार है जिसमें खिड़की A है।

साथ ही, BC = 2.5 मी और CA = 6 मी
पाइथागोरस प्रमेय से, हम जानते है:
AB² = AC² + BC²
AB² = 6² + (2.5)² = 42.25
अतः, AB = 6.5
इस प्रकार, सीढ़ी की लंबाई 6.5 मी है।

उदाहरण 3: पता लगाइए कि क्या वह त्रिभुज, एक समकोण त्रिभुज है, जिसकी भुजाओं की लम्बाई 3 सेमी, 4 सेमी, 5 सेमी हैं।
हल: 3² = 9, 4² = 16 और  5² = 25
हम पाते है कि, 3² + 4² = 5²
इसलिए,यह त्रिभुज, एक समकोण त्रिभुज है।
उदाहरण 4: दिया गया है कि एक वर्ग की भुजा 4 सेमी है।तो इस वर्ग के विकर्ण की लंबाई ज्ञात है।
हल: हमें विकर्ण AC की लंबाई निकालनी है। जैसा कि हम जानते हैं, एक वर्ग की सभी भुजा समान होती हैं; और प्रत्येक कोण 90 डिग्री का होता है; इसलिए ADC, एक समकोण त्रिभुज है:-

पाइथागोरस प्रमेय से,
AD² + CD² = AC²
AC² = 4² + 4² = 16 + 16
AC² = 32, So, AC= 4√2
अतः, वर्ग का विकर्ण 4√2 सेमी होगा।

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