Access to All SSC Exams Courses Buy Now
Home Notes 2D और 3D आकृतियों के लिए क्षेत्रमिति के सूत्र और प्रश्न

2D और 3D आकृतियों के लिए क्षेत्रमिति के सूत्र और प्रश्न

2D और 3D आकृतियों के लिए क्षेत्रमिति के सूत्र और प्रश्न: इस पोस्ट में, हम महत्वपूर्ण प्रश्नों के साथ सभी आकृतियों के लिए बेसिक क्षेत्रमिति के फॉर्मूला प्रदान कर रहे हैं। यह सूत्र सभी परीक्षाओं के लिए उपयोगी हैं।

0
997

| Updated On June 15th, 2020 at 02:17 pm

 क्षेत्रमिति के सूत्र और प्रश्न

मेंसुरेशन गणित की वह शाखा है, जो ज्यामिति के विभिन्न आकृतियों और आकारों के माप से संबंधित होती है। इसमें आकृतियों के क्षेत्रफल,आयतन आदि की गणना की जाती है। विभिन्न क्षेत्रमिति के सूत्र, जो ज्यामिति में कवर किये जाते हैं, परीक्षा की दृष्टि से महत्वपूर्ण होते है। इस विषय में बेहतर समझ विकसित करने के लिए, आपको प्रश्नों को हल करने के लिए उपयोग किए जाने वाले सूत्रों और अवधारणाओं को जानना चाहिए। डिटेल के साथ इस पोस्ट में शामिल किए गए महत्वपूर्ण बेसिक गणित क्षेत्रमिति के सूत्र निम्नलिखित है।

Get free notes of Maths
Click here for SSC CGL Tier 2 Study material

2D और 3D आकृतियाँ क्या है?

2D आकृति:- ज्यामिति में, द्वि-आयामी आकृति एक समतल आकृति होती है या एक ऐसी आकृति होती है, जिसमें केवल दो आयाम होते हैं,अर्थात् लंबाई और चौड़ाई। द्वि-आयामी या 2-डी आकृतियों में मोटाई नहीं होती है और इसे केवल दो तरफ से मापा जा सकता है। 2 D आकृति की केवल क्षेत्रफल और परिमाप की गणना की जा सकती है।

3D आकृति- त्रि-आयामी आकृति वह है जहाँ आकृति के तीन आयाम होते हैं जैसे लंबाई, चौड़ाई और मोटाई। इसकी आयतन, वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल, और कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल की गणना की जाती हैं।

2D आकृतियों के क्षेत्रमिति का सूत्र:

2D आकृतियों के क्षेत्रफल और परिमाप के सूत्र निम्नलिखित है:

                 आकृति         क्षेत्रफल(वर्ग इकाई)       परिमाप(इकाई में)
वर्ग 4a
आयत l × b 2 ( l + b)
वृत्त πr² 2 π r
विषमबाहु त्रिभुज √[s(s−a)(s−b)(s−c)],

जहाँ, s = (a+b+c)/2

a+b+c
समद्विबाहु त्रिभुज ½ × b × h 2a + b
समबाहु त्रिभुज (√3/4) × a² 3a
समकोण त्रिभुज ½ × b × h b + hypotenuse + h
समचतुर्भुज ½ × d1 × d2 4 × side
समानांतर चतुर्भुज b × h 2(l+b)
समलम्ब चतुर्भुज ½ h(a+b) a+b+c+d

 

Area Of Trapezium: Definition, Properties, Formula And Examples

 3D आकृतियों के क्षेत्रमिति का सूत्र:

3D आकृतियों के सूत्र निम्नलिखित है:

आकृति आयतन(घन इकाई) वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल(CSA) या
पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल(LSA)(वर्ग इकाई)
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल(TSA) (वर्ग इकाई)
घन 4 a² 6 a²
घनाभ l × b × h 2 h (l + b) 2 (lb +bh +hl)
गोला  (4/3) π r³ 4 π r² 4 π r²
अर्धगोला (⅔) π r³ 2 π r² 3 π r²
बेलन  π r² h 2π r h 2πrh + 2πr²
शंकु (⅓) π r² h π r l πr (r + l)

 

क्षेत्रमिति के सूत्र की व्याख्या:

Volume of a Sphere: Definition, Formula and Examples

क्षेत्रमिति के प्रश्न:

Q1. The radius of a cylinder is 10 cm and the height is 4 cm. The number of centimetres that may be added either to the radius or to the height to get the same increase in the volume of the cylinder is :
एक बेलन की त्रिज्या 10 सेमी और ऊंचाई 4 सेमी है। सिलेंडर के आयतन में समान वृद्धि प्राप्त करने के लिए या तो त्रिज्या या ऊंचाई में कितने सेंटीमीटर की वृद्धि की जानी चाहिए?
(a) 5
(b) 4
(c) 25
(d) 16

Ans. (a)
Sol.
Let ‘a’ cm is added in radius and height
π(10+a)²4 = π (10)² (4 +a)
(10+a)²4 = 10² (4 +a)
⇒ a = 5 cm

Q2. A solid sphere of radius 6 cm is melted to form a hollow right circular cylindrical tube of length 8 cm and external radius 10 cm. The thickness of the tube in m is
एक 6 सेमी त्रिज्या वाले ठोस गोले को एक 8 सेमी लम्बाई और 10 सेमी बाहरी त्रिज्या वाले एक खोखली लम्ब वृत्तीय बेलनाकार ट्यूब बनाने के लिए पिघलाया जाता है। ट्यूब की मोटाई मीटर में कितनी है?
(a) 1
(b) 0.01
(c) 2
(d) .02

Ans.(d)
Sol.
Volume of solid sphere
=4/3 π(6)³=288π cu.cm
⇒ Volume of the metal of tube
π(R² – r²)h cu.cm
where R = 10 cm, h = 8 cm
r = inner radius
∴ π(R²-r²)×h = 288π
⇒ (100 -r²) = 36
⇒ r = 8 cm
∴ thickness of cube = (10 – 8)cm
= 2 cm
= 0.02 m

Q3. PQRS is a rectangle. The ratio of the sides PQ and QR is 3 : 1. If the length of the diagonal PR is 10 cm, then what is the area (in cm²) of the rectangle?
PQRS एक आयत है। भुजाओं PQ और QR का अनुपात 3: 1 है. यदि विकर्ण PR की लंबाई 10 सेमी है, तो आयत का क्षेत्रफल (वर्ग सेमी में) क्या है?
(a) 15
(b) 30
(c) 45
(d) 20

Ans.(b)
Sol.

PQRS is a rectangle
PR = 10 given
PQ : QR = 3 : 1
In ∆PQR
9x² + x² = 100
10x² = 100
x = √10
Area of rectangle = 3x × 1x
= 3x²
= 3 × 10
= 30

Q4. The base of a prism is in the shape of an equilateral triangle. If the perimeter of the base is 18 cm and the height of the prism is 20 cm, then what is the volume (in cm³) of the prism?
एक प्रिज्म का आधार समबाहु त्रिभुज के आकार में है। यदि आधार की परिधि 18 सेमी है और प्रिज्म की ऊंचाई 20 सेमी है, तो प्रिज्म का आयतन (घन सेमी में) क्या है?
(a) 180√3
(b) 30√6
(c) 60√2
(d) 120√3

Ans. (A)
Sol.

Given:-
Perimeter = 18 &height=20
Hence ,Side = 6
Volume of prism = area of base × height
= √3/4×6 × 6 × 20
V = 180√3 cm3

Q5. The height of a cone is 24 cm and the area of the base is 154 cm². What is the curved surface area (in cm²) of the cone?
एक शंकु की ऊंचाई 24 सेमी है और आधार का क्षेत्रफल 154 वर्ग सेमी है। शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (वर्ग सेमी में) क्या है?
(a) 484
(b) 550
(c) 525
(d) 515

Ans.(B)
Sol. Area of base = 154
πr² = 154
22/7×r^2=154
r = 7

Height = 24
Radius = 7
Slant height(ℓ) = √(h²+r² )
ℓ =√(24²+7² )
ℓ=25
C.S.A. = πrℓ
= 22/7×7×25
C.S.A. ⇒ 550 cm²

Q6. A right circular solid cylinder has radius of base 7 cm and height is 28 cm. It is melted to form a cuboid such that the ratio of its side is 2 : 3 : 6. What is the total surface area (in cm²) cuboid?
एक लंब वृत्तीय ठोस बेलन का आधार 7 सेमी और ऊंचाई 28 सेमी है। यह एक घनाभ बनाने के लिए पिघलाया जाता है, जिसकी भुजाओं का अनुपात 2: 3: 6. है। घनाभ का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (वर्ग सेमी में) क्या है?
(a)72 ∛(( (1078)²)/(9²))
(b) ∛(2156/9)
(c) ∛(2148/3)
(d) ∛(2048/3)

Ans.(A)
Sol. according to question a cylinder is transforming into a cuboid as shown in figure below

Volume of cylinder = volume of cuboid
22/7×7×7×28=2x×3x×6x
x^3=1078/9 ⇒x=∛(1078/9)
T. Surface area of cuboid = 2 [ℓb + bh + hℓ]
=2×(1078/9)^(2/3) [2×3+3×6+6×2]
T.S.A.=72×(1078/9)^(2/3)

Q7. ABCDEF is a regular hexagon. What is the ratio of the area of triangle ACE and area of triangle AEF?
ABCDEF एक नियमित षट्भुज है। त्रिभुज ACE के क्षेत्रफल और त्रिभुज AEF के क्षेत्रफल का अनुपात क्या है? (a) 6 : 1
(b) 4 : 1
(c) 3 : 1
(d) 5 : 1

Ans.(c)
Sol.

Given is a regular hexagon
In a regular hexagon, there are 6 equilateral triangle as shown by dotted line
Area of ∆ACE = 1/2×[Area of 6 equilateral triangle]
= 3 equilateral triangle.
Area of ∆AEF = 1/2×[Area of 2 equilateral ∆]
= 1 equilateral triangle.
Hence ratio of
Area ACE : Area AEF = 3 : 1

Numerically proved
Let length of side of hexagon = 12
Interior angle ∠ABC = ((x–2)×180)/n = ((6–2)×180)/6 = 120
Area of ∆ABC = 1/2×AB×BC×sin⁡120
=1/2×12×12×cos⁡30
Area of ∆ABC = 36√3
Similarly
Area ∆CDE = Area ∆AEF = 36√3
Area of hexagon = 6×√3/4×12×12 = 216√3
Area of ACE = Area of hexagon – [Area of ∆ABC + ∆CDE + ∆AEF]
= 216√3 –108√3
= 108√3
∴ Area of ACE : Area of AEF = 108√3 ∶36√3
= 3 : 1

Q8. ABCD is a trapezium. Sides AB and CD are parallel to each other. AB = 6 cm, CD = 18 cm, BC = 8 cm and AD = 12 cm. A line parallel to AB divides the trapezium in two parts of equal perimeter. This line cuts BC at E and AD at F. If BE/EC = AF/FD, than what is the value of BE/EC?
ABCD एक ट्रेपेज़ियम है। भुजा AB और CD एक दूसरे के समानांतर हैं। AB = 6 सेमी, CD = 18 सेमी, BC = 8 सेमी और AD = 12 सेमी है। A रेखा AB के समांतर है, जो ट्रेपेज़ियम को समान परिधि के दो भागों में विभाजित करती है। यह रेखा BC को E और AD को F पर काटती है। यदि BE/EC = AF/FD, तो BE/EC का मान क्या है?
(a) 1/2
(b) 2
(c) 4
(d) 1/4
Ans.(c)
Sol.

All given values are shown in diagram
Let BE = x then EC = 8 – x
BE/EC=AF/FD (condition given)
Reverse the given condition & add 1 both side
EC/BE+1=FD/AF+1
(EC+BE)/BE=(FD+AF)/AF⇒BC/BE=AD/AF …(i)
Put values in eq. (i) → 8/x=12/AF AF=3x/2 & FD=12–3x/2
Now perimeter FABE = FECD
FA + AB + BE + FE = EC + CD + DF + FE
3x/2+6+x=8 –x+18+(12–3x/2)
5x = 32
x=32/5=BE, hence EC=8 –32/5=8/5
∴ BE/EC=(32/5)/(8/5)=4

Geometry Study Notes: Triangles, lines and Angles

Click here for more Maths Study Notes

 

LEAVE A REPLY

Please enter your comment!
Please enter your name here