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अर्धगोले की परिभाषा, आयतन, सूत्र, उदाहरण और कुल पृष्ठीय क्षेत्र

Hemisphere Definition (अर्धगोले की परिभाषा)

Hemisphere: आम तौर पर, हम विभिन्न द्वि-आयामी और त्रि-आयामी आकृतियाँ देखते हैं जिनमें उनके विशिष्ट गुण होते हैं। त्रि-आयामी वस्तुओं को कागज पर नहीं दिखाया जा सकता क्योंकि इसमें तीनों अक्ष होते हैं। गोला एक 2-आयामी वृत्त को घुमाकर बनाया जाता है, यह एक त्रि-आयामी वस्तु है। लेकिन अर्धगोला गोले का सिर्फ आधा है। जब एक गोले को केंद्र में से दो बराबर भागों में काटा जाता है तो अर्धगोले का निर्माण होता है। अर्धगोले का सबसे अच्छा उदाहरण बाउल है, पृथ्वी के ठीक दो अर्धगोले हैं अर्थात् दक्षिणी गोलार्ध और उत्तरी गोलार्ध।

अर्धगोले की परिभाषा, आयतन, सूत्र, उदाहरण और कुल पृष्ठीय क्षेत्र_50.1

Hemisphere Volume (अर्धगोले का आयतन)

अर्धगोले का आयतन अर्धगोलाकार वस्तु द्वारा घेरा गया स्थान है। जिस अर्धगोले का आकार बड़ा होता है उसका आयतन अधिक होता है और कम आकार के अर्धगोले का आयतन कम होता है। अर्धगोला गोले का आधा होता है इसका एक सपाट गोलाकार आधार होता और एक घुमावदार सतह होती गई है। अर्धगोले का आयतन घन इकाइयों में दर्शाया गया है।

अर्धगोले की परिभाषा, आयतन, सूत्र, उदाहरण और कुल पृष्ठीय क्षेत्र_60.1

अर्धगोले का आयतन = (2/3)πr^3

जहाँ π एक अचर पद है जिसका मान 3.14 है और r वृत्त की त्रिज्या है

अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल

अर्धगोले के पृष्ठीय क्षेत्रफल को, आधार के क्षेत्रफल सहित अर्धगोले की बाहरी सतह के रूप में परिभाषित किया जाता है, जिसे कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल कहा जाता है। अर्धगोले पर दो पृष्ठीय क्षेत्रफल हैं, अर्थात् वक्र पृष्ठ क्षेत्रफल और कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल जिनकी चर्चा नीचे की गई है:

वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल – इसे अर्धगोले की बाहरी सतह के क्षेत्रफल के रूप में परिभाषित किया गया है। इसमें केवल गोलार्ध की सतह शामिल है।

बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल का ½ 

= ½ × 4πr^2

= 2πr^2

Total Surface Area –

कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल – अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल वह क्षेत्र है जिसमें बाहरी सतह और आधार शामिल हैं। इसे वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और अर्धगोले के आधार क्षेत्रफल के योग के रूप में भी परिभाषित किया जाता है। 

अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 3πr^2

अर्धगोले का आयतन सूत्र

एक अर्धगोले का आयतन एक अर्धगोलाकार वस्तु द्वारा घेरा गया स्थान है। अर्धगोला गोले का ठीक आधा है। एक अर्धगोले का आयतन घन इकाइयों में व्यक्त किया जाता है अर्थात m^3, cm^3, और mm^3, गोलार्ध के आयतन में वक्र और आधार का आयतन शामिल होता है। अर्धगोले के आयतन का सूत्र नीचे दिखाया गया है: 

अर्धगोले का आयतन = ⅔πr^3

जहां, π = 3.14 (स्थिर मान)

r = वृत्त की त्रिज्या

अर्धगोला: हल सहित उदाहरण

Que.1 यदि अर्धगोले का व्यास 8 सेमी है। तो अर्धगोले का आयतन ज्ञात कीजिए?

Solution: दिया गया है कि

अर्धगोले का व्यास d = 8cm

हम जानते हैं कि, d = 2r

तब, r = 4cm

अर्धगोले का आयतन = 2/3πr^3

= 2/3×3.14×(4)^3

= 133.97 = 134 लगभग

Que.2 एक अर्धगोले की त्रिज्या 4.5cm है। अर्धगोले के पृष्ठीय क्षेत्रफल की गणना करें? 

Solution: दिया गया डेटा

r = 4.5m

वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल =?

CSA = 2πr^2

= 2×3.14×4.5×4.5

= 127.17m^2

Que.3 3 सेमी त्रिज्या वाले एक अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए? 

Ans – दिया गया है r = 3cm

TSA = 3πr^2

= 3×3.14×3×3

= 84.78

Que.4 यदि अर्धगोले की त्रिज्या 2 सेमी है, तो अर्धगोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Solution: दिया गया है r = 2cm

अर्धगोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πr^2

= 2×3.14×2×2

= 25.12

Que.5 अर्धगोले की त्रिज्या 3 सेमी है तो अर्धगोले का आयतन ज्ञात कीजिए? 

Solution: दिया गया है r = 8cm

अर्धगोले का आयतन = 3πr^3

= 3×3.14×3×3×3

= 254.34cm^3

Que.6 7cm त्रिज्या वाली एक ठोस अर्धगोलाकार वस्तु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल कितना है?

Solution: हम जानते हैं कि एक ठोस अर्धगोले के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल की गणना A = 3πr^2 के रूप में की जाती है

वस्तु की त्रिज्या है 7cm

तो किसी ठोस वस्तु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल है

9 = 3×3.14×7×7

= 462cm^2

Que.7 एक अर्धगोलाकार कटोरे की आंतरिक त्रिज्या 14cm है। इसमें कितनी मात्रा में पानी आ सकता है?  

Solution: हम जानते हैं कि एक अर्धगोले के आयतन की गणना इस प्रकार की जाती है

V = 2/3πr^3

कटोरे की त्रिज्या = 14cm

अतः कटोरे का आयतन = 2/3×3.14×14×14

= 5750cm^3

Que.8 अर्धगोले की त्रिज्या ज्ञात कीजिए जबकि इसका कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 462 वर्ग इकाई है। 

Solution: दिया गया है कि वस्तु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 462 वर्ग इकाई

वस्तु के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल की गणना A = 3πr^2 के रूप में की जाती है

462 = 3×π×r^2

r^2 = 49

r = 7 units

Que.9 अर्धगोले का आयतन ज्ञात कीजिए जब उसके वृत्ताकार आधार का क्षेत्रफल 154 वर्ग इकाई है।

Solution:दिया गया है, आधार का क्षेत्रफल = 154 वर्ग इकाई

वृत्ताकार आधार के क्षेत्रफल का सूत्र πr^2 है

πr^2 = 154

r^2 = 154/π

r^2 = 49

r = 7 इकाई

अर्धगोले का आयतन = 2/3πr^3

= 2/3×3.14×7×7×7

= 718.67 घन इकाई

Que.10 अर्धगोलाकार कटोरे की त्रिज्या ज्ञात कीजिए यदि उसके आधार का क्षेत्रफल 144cm है। जहां = 22/7 

Solution: हम जानते हैं कि अर्धगोले के आधार का क्षेत्रफल πr^2 है

144 = 22/7

r^2 = 144×7/22

r^2 = 45.81

r = √45.81

r = 6.76 units

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Hemisphere in hindi – FAQs

Que.1 अर्धगोला शब्द को परिभाषित करें?

Ans – गोले को दो बराबर भागों में बाँटकर एक अर्धगोले का निर्माण होता है। यह गोले के केंद्र में समतल से विभाजित गोले का एक भाग है। अर्धगोले का एक उदाहरण पृथ्वी, कटोरा, कप, आइसक्रीम स्कूप, टोपी आदि है।

Que.2 अर्धगोले का आयतन कितना होता है?

Ans – अर्धगोले का आयतन वह स्थान है जो अर्धगोले द्वारा घेरा जाता है। इसे घन इकाइयों में व्यक्त किया जाता है। अर्धगोले के आयतन का सूत्र 3πr^3 है।

Que.3 अर्धगोले के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल की परिभाषा दीजिए?

Ans – वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल अर्धगोले का बाहरी क्षेत्र है। अर्धगोले के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र 2πr^2 है।

Que.4 अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल कितना है?

Ans – कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और आधार क्षेत्रफल का योग होता है। कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र 3πr^2 है।  

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