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Heights and Distances परिभाषा, फ़ॉर्मूला, त्रिकोणमिति, उदाहरण

ऊंचाई और दूरियां

ऊँचाई और दूरियाँ: ऊँचाई और दूरियाँ त्रिकोणमिति का एक महत्वपूर्ण भाग हैं जिनका उपयोग बहुत से अनुप्रयोग में त्रिकोणमितीय अनुपातों का उपयोग करके वस्तुओं की ऊँचाई और दूरी की गणना करने के लिए किया जाता है। इसमें कई दैनिक जीवन के अनुप्रयोग जैसे भवन की ऊंचाई, पहाड़, मीनार या कोई अन्य वस्तु की गणना, वस्तु की गहराई, दो आकाशीय पिंड के बीच की दूरी आदि है। इसका उपयोग त्रिकोणमितीय अनुपातों और सूत्रों का उपयोग करके दो पक्षों के बीच बने कोण को ज्ञात करने के लिए भी किया जाता है।

यहां हम ऊंचाई और दूरियों पर चर्चा करने जा रहे हैं, जिसमें ऊंचाई और दूरी सूत्र, त्रिकोणमितीय अनुप्रयोग और ऊंचाई और दूरी के आधार पर समस्याएं शामिल हैं। अत: ऊंचाई और दूरी और उनके अनुप्रयोगों के विषय में विस्तृत जानकारी प्राप्त करने के लिए पूरा लेख पढ़ें।

ऊँचाई और दूरियाँ – अर्थ

ऊँचाई किसी भी संदर्भ वस्तु से ऊर्ध्वाधर दूरी की माप है जबकि दूरी वस्तु से क्षैतिज रूप से स्थित किसी विशेष बिंदु का क्षैतिज माप है। त्रिकोणमितीय अनुपातों और सूत्रों का उपयोग करके भवन, पर्वत, मीनार, ध्वज आदि की ऊँचाई और किन्हीं दो वस्तुओं के बीच की दूरी को आसानी से मापा जा सकता है।

ऊंचाई और दूरियां – महत्वपूर्ण शर्तें

ऊंचाई और दूरी की अवधारणाओं को समझने के लिए आपको ऊंचाई और दूरियों से जुड़े कुछ महत्वपूर्ण शब्दों को जानना चाहिए। ऊँचाई और दूरियों के महत्वपूर्ण पद इस प्रकार हैं:

  • दृष्टि रेखा – प्रेक्षक की आंख से देखी जाने वाली वस्तुओं तक खींची गई काल्पनिक क्षैतिज सीधी रेखा। यह एक सटीक विचार देता है कि पर्यवेक्षक कहां देखते हैं।
  • क्षैतिज रेखा – जमीन या सतह के समानांतर गुजरने वाली रेखा को क्षैतिज रेखा कहते हैं। ऊपर की आकृति में क्षैतिज रेखा को दिखाया गया है।
  • उनन्यन कोण – क्षैतिज रेखा के साथ दृष्टि रेखा से बनने वाला कोण जब पर्यवेक्षक क्षैतिज रेखा पर ऊपर की ओर स्थित वस्तु को देखते हैं। यह तभी बनता है जब प्रेक्षक ऊपर की ओर रखी वस्तु को देखता है।
  • अवनमन कोण – जब प्रेक्षक नीचे की वस्तु को देखते हैं तो अवनमन कोण दृष्टि रेखा का झुकाव और क्षैतिज रेखा है। यह तभी बनता है जब प्रेक्षक किसी भी ऊंचाई से जमीन पर वस्तु को देखता है।

ऊंचाई और दूरी सूत्र

त्रिकोणमितीय अनुपातों का उपयोग करके ऊंचाई और दूरी की गणना आसानी से की जा सकती है। आमतौर पर, Tan त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन का उपयोग ऊंचाई और दूरी को सटीक रूप से प्राप्त करने के लिए किया जाता है।

हम जानते हैं कि Tan फलन का अनुपात है tan = ऊँचाई/दूरी

= लंबवत / आधार

आप इसके लिए विभिन्न कोणों पर tan फलन के मान जानते हैं। नीचे दी गई तालिका में त्रिकोणमितीय मानों का उल्लेख किया गया है। इसके लिए आप टेबल देख सकते हैं।

नोट: tan0°=0, tan30°=1/√3, tan45°=1

 

त्रिकोणमिति में ऊँचाई और दूरियाँ

ऊँचाई और दूरियाँ त्रिकोणमिति का एक बहुत व्यापक अनुप्रयोग है। इसके प्रयोग से दो या दो से अधिक वस्तुओं या स्थानों के बीच की दूरी तथा दो भुजाओं द्वारा अंतरित कोण ज्ञात करके वस्तु की ऊँचाई ज्ञात की जाती है। त्रिकोणमितीय कार्यों का उपयोग करके ऊंचाई और दूरी की गणना की जा सकती है। त्रिकोणमिति और इसके अनुप्रयोग जैसे ऊँचाई और दूरी का उपयोग आर्किटेक्ट, अंतरिक्ष यात्री, सर्वेक्षक, नेविगेटर आदि द्वारा किया जाता है।

त्रिकोणमितीय अनुपात

त्रिकोणमितीय अनुपात और सूत्र नीचे दिए गए हैं:

  • Sinθ = लंबवत/कर्ण = AB/OB
  • Cosθ = आधार / कर्ण = OA/OB
  • Tanθ = लंबवत/आधार = AB/OA
  • Cosecθ = 1/Sinθ = OB/AB
  • Secθ = 1/Cosθ = OB/OA
  • Cotθ = 1/Tanθ = OA/AB

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका

ऊंचाई और दूरी पर समस्याएं

  1. टावर के तल से 350 मीटर दूर एक बिंदु से, टावर का शिर्ष बिंदु को एक पर्यवेक्षक द्वारा 45 डिग्री का उन्नयन कोण बनाते हुए देखा जाता है। टावर की ऊँचाई मीटर में ज्ञात कीजिए?          

हल: समकोण त्रिभुज ABC में

Tan45°=X/350
X=350मीटर
अत: टावर की ऊंचाई 350मीटर  है।

प्रश्न.2 भूतल पर टावर के शीर्ष से उन्नयन कोण 30° है। टावर के 30 मी के निकट जाने पर उन्नयन कोण 45° बनता है। टावर की ऊंचाई ज्ञात कीजिए?

हल : माना मीनार की ऊँचाई है-

h30=h (cot 30°- cot 60°)30=h (√3-1/√3)30√3=h (3-1) h=15√3

प्रश्न. 3 एक प्रकाशस्तंभ के दोनों ओर समुद्र में दो समुंद्री जहाज नौकायन कर रहे हैं। समुंद्री जहाजों से प्रकाशस्तंभ के शीर्ष का उन्नयन कोण क्रमशः 30° और 45° देखा जाता है। यदि प्रकाशस्तंभ 100 मीटर ऊँचा है, तो दोनों समुंद्री जहाजों के बीच की दूरी है:

हल: मान लीजिए कि AB प्रकाशस्तंभ है तथा C और D समुंद्री जहाजों की स्थितियाँ हैं।

तो, AB = 100 मीटर, ACB = 30° और ADB = 45°

AB/AC=tan30°=1/√3

AC = AB√3 = 100√3

AB/AD = tan45° = 1

AD = AB = 100 मीटर

CD = (AC + AD) = (100√3 + 100) मीटर

= 100 (√3 + 1)

= 273 मीटर

प्रश्न.4 एक दीवार के साथ झुकी हुई सीढ़ी का उन्नयन कोण 60° है और सीढ़ी का तल दीवार से 4.6 मीटर दूर है। सीढ़ी की लंबाई है:

हल: माना AB दीवार है और BC सीढ़ी है।

तो, ACB = 60° और AC = 4.6 मीटर

AC/BC = cos60° = 1/2

BC = 2×AC

= (2×4.6)मीटर

= 9.2मीटर

प्रश्न.5 एक प्रकाशस्तंभ के शीर्ष से दो समुंद्री जहाजों के अवनमन कोण पूर्व की ओर 45° और 30° हैं। यदि समुंद्री जहाज 200 मीटर की दूरी पर हैं, तो प्रकाशस्तंभ की ऊंचाई ज्ञात कीजिए।

हल : आइए दिए गए प्रश्न के अनुसार नीचे एक आकृति बनाएं

मान लीजिए टावर की ऊंचाई AB = h मीटर है और दो समुंद्री जहाज क्रमशः D और C पर स्थित हैं;

इस प्रकार, CD = 200 मीटर; ∠ADC = 30° ∠ACB = 45° और BC = x मीटर (मान लीजिए)

अब समकोण त्रिभुज ABC से,
tan 45° = h/x ⇒ 1 = h/x
∴ x = h
पुनः समकोण त्रिभुज ABD से,
tan 30° = h/( 200 + x )
⇒ 1/√3 = h/( 200 + x )
चूँकि x = h, हम प्राप्त करेंगे।
⇒ 1/√3 = h/(200 + h )
⇒ (200 + h ) = h X √3
⇒ h X √3 – h = 200
⇒ h x 1.732 – h = 200
⇒ h(1.732 – 1) = 200
∴ h = 200/0.732 = 273.2 मीटर = 273 मीटर

प्रश्न.6 समतल पर एक बिंदु पर एक टावर एक कोण Θ बनाता है और एक फ्लैग स्टाफ टावर के शीर्ष पर एक फीट लंबाई का एक कोण बनाता है। टावर की ऊंचाई है:

हल : आइए दिए गए प्रश्न के अनुसार एक आकृति बनाएं।

मान लीजिए कि OP टावर की ऊँचाई h (मान लीजिए) है और PQ, a ऊँचाई का फ्लैग स्टाफ है, जैसे कि ∠OAP = Θ और PAQ = Φ
ΔOAP में

TanΘ = P/B = लंबवत दूरी / आधार दूरी
⇒ TanΘ = OP/OA
⇒ OA = OP CotΘ
उपरोक्त समीकरण में OP का मान रखने पर हमें प्राप्त होता है।
⇒ OA = hCotΘ ……………. (1)
अब त्रिभुज ΔOAQ से,
⇒ Tan(Θ + Φ) = OQ/OA
⇒ OA = OQ Cot(Θ + Φ)
⇒ OA = (h + a) Cot(Θ + Φ) ………….(2)
समीकरण (1) और (2) से, हम प्राप्त करेंगे
∴ hCotΘ = (h + a) Cot(Θ + Φ)
⇒ CotΘ / Cot(Θ + Φ) = (h + a) / h
⇒ CotΘ / Cot(Θ + Φ) = h / h + a / h
⇒ CotΘ / Cot(Θ + Φ) = 1 + a / h
⇒ (CotΘ / Cot(Θ + Φ)) – 1 = a / h
⇒ (CotΘ – Cot(Θ + Φ) ) / Cot(Θ + Φ) = a / h
⇒ h = aCot (Θ + Φ) / CotΘ – Cot(Θ + Φ)
Cot को Sin और Cos में बदलने के बाद, हम प्राप्त करेंगे
⇒ h = aSinΘCos(Θ + Φ)/SinΦ

प्रश्न.7 एक टावर से 1.6 मीटर लंबा एक पर्यवेक्षक 203 दूर है। उसकी आँख से मीनार के शीर्ष तक का उन्नयन कोण 30° है। टावर की ऊंचाई ज्ञात कीजिए?

हल:

 मान लीजिए प्रेक्षक AB है और टावर CD है।

BE, CD के लंबवत है।

 

AB = CE = 1.6 मीटर

AC = BE = 20√3 मीटर

DE/BE = tan30° = 1/√3

तो DE = 20√3/√3 मीटर

= 20 मीटर

चुकि CD = CE + DE = 1.6 + 20

= 21.6 मीटर

प्रश्न.8 समतल भूमि पर एक बिंदु P से, शीर्ष टावर का उन्नयन कोण 30° है। यदि टावर 100 मीटर ऊँची है, तो टावर के तल से बिंदु P की दूरी ज्ञात कीजिए

हल: मान लीजिए AB एक टावर है।

कोण APB = tan30° = 1/√3

AP = (AB×√3)मीटर

= 100√3मीटर

= 100×1.73

= 173मीटर

प्रश्न.9 जब पेड़ के छाया की लंबाई, पेड़ की ऊंचाई से 3 गुना है, तो सूर्य का उन्नयन कोण क्या होगा?

हल:

मान लीजिए AB एक पेड़ है और AC उसकी छाया है।

माना कोण ACB = theta

AC/AB = √3

Cot = √3

= 30°

प्रश्न.10 एक व्यक्ति एक जहाज के डेक पर खड़ा है, जो जल स्तर से 10 मीटर ऊपर है। वह एक प्रकाशस्तंभ के शीर्ष के उन्नयन कोण को 600 और प्रकाशस्तंभ के आधार के अवनमन कोण को 300 के रूप में देखता है। प्रकाशस्तंभ की ऊंचाई ज्ञात कीजिए।

हल:

माना AB प्रकाशस्तंभ है और व्यक्ति C पर खड़ा है, इसलिए BCD = 600 और ACD = 300

माना BD = h

ΔADC में, tan 300 = 10/CD

⇒ 1/√3 = 10/CD ⇒ CD = 10√3मीटर

ΔBDC में, tan 600 = h/CD

⇒√3 = h/10√3

⇒ h = 30मीटर

तो प्रकाशस्तंभ की ऊंचाई है AB = AD + BD = 10 + 30 = 40मीटर

ऊंचाई और दूरियां- अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

 प्रश्न.1 ऊंचाई और दूरी को परिभाषित करें।

उत्तर – ऊँचाई को दो वस्तुओं के बीच की ऊर्ध्वाधर दूरी के रूप में परिभाषित किया जाता है जबकि दूरी किसी विशेष दिशा में किसी बिंदु या वस्तु की माप होती है।

प्रश्न.2 उन्नयन कोण क्या है?

उत्तर – यह दृष्टि रेखा और भूतल के बीच बनने वाला कोण है जब पर्यवेक्षक किसी विशेष ऊंचाई से भूतल पर स्थित वस्तु को देखता है।

प्रश्न.3 अवनमन कोण की परिभाषा दीजिए?

उत्तर – जब प्रेक्षक नीचे की ओर रखी वस्तु को देखता है तो अवनमन कोण क्षैतिज रेखा से दृष्टि रेखा का झुकाव होता है।

प्रश्न.4 ऊंचाई और दूरियों के अनुप्रयोग क्या हैं?

उत्तर – ऊँचाई और दूरियाँ त्रिकोणमिति का एक भाग हैं और दैनिक जीवन में इसके कई अनुप्रयोग हैं। इसका उपयोग टावरों, इमारतों, पहाड़ों आदि की ऊंचाई और किन्हीं दो वस्तुओं जैसे आकाशीय पिंडों या अन्य के बीच की दूरी की गणना करने के लिए किया जाता है। इसका उपयोग अधिकतरअंतरिक्ष यात्री, सर्वेक्षक, आर्किटेक्ट और नेविगेटर द्वारा किया जाता है।

 

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