What is Fraction? – परिभाषा, उदाहरण, जोड़, कैलकुलेटर, गुणा

भिन्न(Fractions): शब्द भिन्न की उत्पत्ति लैटिन शब्द “फ्रैक्टस” से हुई है जिसका अर्थ है “टूटा हुआ” क्योंकि भिन्न का अर्थ पूर्ण से एक निश्चित भाग को तोड़ना या विभाजित करना है। एक भिन्न को एक पूर्ण वस्तु के एक भाग के रूप में परिभाषित किया जाता है अर्थात भिन्न एक पूर्ण संख्या नहीं है, जबकि यह एक पूर्ण संख्या का एक भाग है जो इसके एक निश्चित भाग को प्राप्त करता है। एक भिन्न का उपयोग पूर्ण वस्तु के एक हिस्से का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाता है। इसे अंश और हर के रूप में व्यक्त किया जाता है।

भिन्न परिभाषा

सीधे शब्दों में एक भिन्न को x/y रूप में दर्शाया जाता है जहाँ x एक अंश है जिसे ऊपर दर्शाया जाता है और y एक भाजक है जिसे नीचे की तरफ दर्शाया जाता है। इसका अर्थ है कि x एक संपूर्ण वस्तु है और y, x का कोई निश्चित भाग है। अपने दैनिक जीवन में, हम कई बार भिन्नों का प्रयोग करते हैं जैसे हम 1/2 गिलास पानी, 1/4 मग चाशनी, 1/2 भाग चपाती आदि लेते हैं।

भिन्नों के दैनिक जीवन के उदाहरण नीचे सूचीबद्ध हैं:

• यदि किसी केक को काट कर चार बराबर भागों में बाँटा जाए तो प्रत्येक चार भाग एक पूरे केक के बराबर होता है।
• यदि हम एक सेब को तीन बराबर भागों में बाँटें तो प्रत्येक भाग सेब के 1/3 भाग के बराबर होगा।

भिन्न के प्रकार

एक भिन्न एक अनुपात या पूरी मात्रा का हिस्सा है। इसे अंश और हर के रूप में दर्शाया जाता है। अंश और हर के आधार पर भिन्न निम्न प्रकार के होते हैं:

• उचित भिन्न
• अनुचित भिन्न
• मिश्रित भिन्न
• समान भिन्न
• असमान भिन्न
• समतुल्य भिन्न
• इकाई भिन्न

इन सभी प्रकार के भिन्नों की नीचे उदाहरणों के साथ विस्तार से चर्चा की गई है। तो ऐसे सभी प्रकार के भिन्नों के बारे में विस्तार से जानने के लिए नीचे दी गई सामग्री का अध्ययन कीजिए।

उचित भिन्न

जिस भिन्न का अंश हर से कम होता है उसे उचित भिन्न कहा जाता है। इसकी पहचान केवल अंश और हर के मूल्यों की तुलना करके की जाती है। उदाहरण के लिए 3/7, 4/5, 2/5, 8/9, 1/4, 2/7, और इसी तरह जहाँ अंश हर से कम है।

अनुचित भिन्न

एक भिन्न जिसका अंश हर से बड़ा या उसके बराबर होता है, अनुचित भिन्न के रूप में जाना जाता है। यह उचित भिन्नों के ठीक विपरीत है और अंश और हर के मूल्यों को देखकर इसकी पहचान की जा सकती है। उदाहरण के लिए 3/2, 7/4, 8/5, 4/3, 9/2, 6/5, 7/6, इत्यादि।

मिश्रित भिन्न

मिश्रित भिन्न एक पूर्ण संख्या और भिन्न का संयोजन होता है। यह एक अनुचित भिन्न है। यह एक पूर्ण संख्या और एक उचित भिन्न के संयोजन को चालू करता है। गणितीय संक्रियाओं को करने पर इसे सरल बनाया जा सकता है। उदाहरण के लिए-

मिश्रित भिन्न को ऊपर दर्शाया गया है।

समान भिन्न

जिस भिन्न का हर समान होता है उसे समान भिन्न कहते हैं। समान भिन्नों का हर हमेशा समान रहता है। उदाहरण के लिए, 2/5, 3/5, 4/5, 6/5, 7/5, 8/5, 19/5, 23/5, और इसी तरह जिसका हर समान है अर्थात 5।

बुनियादी गणितीय संक्रियाओं का उपयोग करके समान का सरलीकरण आसानी से किया जा सकता है।

असमान भिन्न

एक भिन्न जिसका अंश समान होता है, असमान भिन्न कहलाता है। हर अलग हो सकता है लेकिन अंश का एक ही मान रहता है। उदाहरण के लिए 1/2, 3/2, 5/2, 7/2, 9/2, 11/2, और 13/2, असमान भिन्न हैं।

समतुल्य भाग

वे भिन्न जो सरलीकरण के बाद समान मानों का प्रतिनिधित्व करते हैं, समतुल्य भिन्न कहलाते हैं। भिन्न एक दूसरे के बराबर होते हैं और समतुल्य भिन्न कहलाते हैं। उदाहरण के लिए, 2/4 और 8/16, 3/9, और 18/36 समतुल्य भिन्न हैं।

इकाई अंश

भिन्नों का एक अंश 1 होता है और हर में एक धनात्मक पूर्णांक होता है जिसे इकाई भिन्न कहते हैं। उदाहरण के लिए, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, और 1/6 इकाई भिन्न हैं।

समतुल्य भिन्न

समतुल्य भिन्न वे भिन्न होते हैं जिनके अंश और हर दोनों भिन्न होते हैं लेकिन वे सरलीकरण पर समान मान देते हैं। समतुल्य भिन्नों को तब परिभाषित किया जा सकता है जब सरलीकरण पर दो या दो से अधिक भिन्न समान मान देते हैं जो एक दूसरे के समतुल्य भिन्न होते हैं। समतुल्य भिन्न भिन्नों का एक समूह है जो सरलीकरण पर समान मान का प्रतिनिधित्व करता है।

अंश समतुल्य विस्तरण पर समान मान देता है। भिन्न समतुल्य भिन्न का एक गुण है जो हल करने के बाद समान मान का प्रतिनिधित्व करता है। भिन्न समतुल्य गणितीय संक्रियाओं को लागू करने पर हमेशा समान मान देता है।

उदाहरण के लिए, 1/4 और 25/100, 3/4 और 12/16, 9/27, और 8/24 एक दूसरे के समतुल्य भिन्न हैं।

दशमलव से भिन्न

दशमलव को सरल गणितीय चरणों का उपयोग करके आसानी से भिन्नों में परिवर्तित किया जा सकता है। दशमलव से भिन्न रूपांतरण एक दशमलव बिंदु को हटाता है और भिन्न रूप में एक मान देता है। दशमलव से भिन्न को नीचे सूचीबद्ध चरणों का उपयोग करके परिवर्तित किया जा सकता है।

• पहले दिए गए दशमलव को भिन्न रूप (x/y) में लिखें, जहां हर 1 होना चाहिए।
• फिर दशमलव स्थिति को गिनते हुए अंश और हर को 10 के गुणज से गुणा कीजिए, ताकि अंश में दशमलव एक पूर्ण संख्या बन जाए। (यदि दशमलव बिंदु के बाद दो संख्याएँ हैं, तो 100/100, और 1000 से गुणा कीजिए।1000 यदि दशमलव के बाद तीन संख्याएँ)
• इसके अलावा, यदि आवश्यक हो तो प्राप्त भिन्न को सरल बनाएं।

उदाहरण के लिए, 0.25 को भिन्न के रूप में बदलें,

दिया गया भिन्न, 0.25।

जहाँ दशमलव को दो संख्याओं के बाद रखा जाता है तो हम अंश और हर दोनों में आवश्यक भिन्न प्राप्त करने के लिए 100/100 से गुणा करेंगे।

0.25/100×100 = 1/4

अतः 1/4 एक अपेक्षित भिन्न है जो 0.25 से प्राप्त होता है।

भिन्न जोड़

भिन्न जोड़ एक संयुक्त भिन्न प्राप्त करने के लिए दो या दो से अधिक भिन्नों को जोड़ने की एक विधि है। बीजीय व्यंजकों में जोड़ के रूप में सरल गणितीय संक्रियाओं को निष्पादित करके भिन्नात्मक योग किया जा सकता है। भिन्न जोड़ योग पर एक संयुक्त परिणामी भिन्न का प्रतिनिधित्व करता है।

भिन्नों का योग केवल संख्याओं को जोड़ने पर किया जा सकता है लेकिन भिन्न जोड़ में, हमें हर के मानों की जाँच करने की आवश्यकता होती है। भिन्नों का जोड़ सरलता से किया जा सकता है यदि उसका हर समान हो, लेकिन उसका हर अलग हो, तो भिन्नों को जोड़ने के लिए कुछ अलग चरणों की आवश्यकता होती है। छात्रों की आसानी के लिए भिन्न जोड़ के हल किए गए उदाहरण यहां दिए गए हैं।

समान हर के साथ भिन्न जोड़

यदि दो या दो से अधिक भिन्नों के हर समान हैं, तो हम हर को समान रखते हुए सीधे अंश जोड़ सकते हैं।

समान हर वाले भिन्नों को जोड़ने के लिए नीचे दिए गए चरणों का पालन कीजिए:

• हर को समान रखते हुए अंशों को एक साथ जोड़ें।
• सरलीकृत भिन्न प्राप्त कीजिए।

उदाहरण: भिन्नों को जोड़ें: 5/6 और 7/6।

हल: चूँकि हर समान हैं, इसलिए हम हर को समान रखते हुए सीधे अंश जोड़ सकते हैं।

(5/6) + (7/6) = (5 + 7)/6 = 12/6

भिन्न को सरल बनाने पर

12/6 = 2

अतः ⅚ और 7/6 भिन्नों का अभीष्ट योग 2 है।

भिन्न हर के साथ भिन्न जोड़

जब दी गई भिन्नों के हर भिन्न होते हैं तो हम हर को समान रखकर सीधे अंश नहीं जोड़ सकते हैं। भिन्न हर के साथ भिन्नों को जोड़ने पर हमें नीचे सूचीबद्ध एलसीएम पद्धति का पालन करना होगा।

• सबसे पहले, दिए गए भिन्नों के हरों की जाँच कीजिए।
• एलसीएम के अन्य हरों को लेकर और फिर उन्हें युक्तिसंगत बनाकर भिन्नों के हरों को समान बनाएं।
• हर को सामान्य रखते हुए भिन्नों के अंशों को जोड़ें।
• अंतिम योग प्राप्त करने के लिए प्राप्त भिन्न को सरल बनाएं।

उदाहरण: भिन्नों को जोड़ें 3/15 + 5/2

हल: दिए गए दोनों भिन्नों 3/15 और 5/2 के हर अलग-अलग हैं।

हम 3/15 = 1/5 को सरलीकृत भिन्न में लिख सकते हैं।

अब, 1/5 और 5/2 दो भिन्न हैं।

2 और 5 का एलसीएम = 10

5/2 को 1/5 से गुणा कीजिए, तो

अभीष्ट भिन्न 27/10 है।

भिन्न कैलकुलेटर

एक भिन्न कैलकुलेटर एक जटिल या बड़े अंश को सरलीकृत अंश रूप में कम करने की एक विधि है। भिन्न कैलकुलेटर एक आवश्यक छोटा अंश मान देता है। छात्र भिन्न को हल करने के लिए भिन्न कैलकुलेटर टूल का भी उपयोग कर सकते हैं। कैलकुलेटर भिन्न गणितीय संक्रियाओं को निष्पादित करके सरलीकृत रूप में एक छोटा मान देता है।

भिन्न गुणन

भिन्न गुणन एक परिणामी भिन्न प्राप्त करने के लिए दो भिन्नों का गुणनफल है। भिन्न गुणन की शुरुआत अंशों के बाद हरों को गुणा करके की जाती है। भिन्नों का गुणन केवल अंशों और हरों को गुणा करके किया जा सकता है। भिन्नों का गुणन नीचे सूचीबद्ध चरणों का पालन करके किया जा सकता है।

• सबसे पहले, अंशों को गुणा कीजिए।
• फिर हरों को गुणा कीजिए।
• परिणामी भिन्न को उसके निम्नतम पदों तक कम कीजिए।

उदाहरण: भिन्नों 1/5 और 3/4 को गुणा कीजिए।

हल: 1/5 और 3/4

अंशों को गुणा कीजिए फिर हमें हर मिलता है= 3/20

तो 1/5 और 3/4 का परिणामी गुणन 3/20 है।

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Fraction: FAQs

Que.1 एक भिन्न क्या है?

उत्तर: – भिन्न x/y के रूप में निरूपित संपूर्ण मात्रा का एक भाग है। उदाहरण के लिए, 2/5 एक भिन्न है।

Que.2 एक उचित भिन्न क्या है?

उत्तर – जिस भिन्न का अंश हर से कम होता है उसे उचित भिन्न कहा जाता है। उदाहरण के लिए 1/4।

Que.3 समतुल्य भिन्न क्या होते हैं?

उत्तर – जब दो भिन्न सरलीकरण पर समान मान देते हैं तो दोनों समतुल्य भिन्न होते हैं। उदाहरण के लिए 3/9 और 4/12।

Que.4 भिन्नों को 2/3 और 4/9 से गुणा कीजिए।

उत्तर: 2/3 और 4/9.

अंशों और हरों को गुणा करने पर हमें 8/27 मिलता है।

तो 2/3 और 4/9 का गुणन 8/27 का एक भिन्न देता है।

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