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परिभाषा और उदाहरणों के साथ त्रिकोणमिति में पूरक कोण सूत्र

Complementary Angles: जब दो कोणों को जोड़ा जाता है और मानों का योग 90° हो जाता है तो यह पूरक कोण कहलाते हैं. और दोनों कोण एक दूसरे के पूरक कहलाते हैं. ज्यामिति में, यदि किन्हीं दो कोणों का योग समकोण के बराबर होता है और कोणों के ऐसे युग्म पूरक कोण कहलाते हैं. 60° और 30°, 40° और 50° आदि के बाद कोणों के युग्म के मान जिनका मानों का योग 90° होगा.

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यहाँ AOC और BOC पूरक कोण हैं.

पूरक कोण क्या होते हैं?

पूरक कोणों की पहचान केवल कोणों के मान से होती है. कोणों का मान 90° के समकोण के बराबर होना चाहिए. यदि दो कोणों के योग का मान सम्पूरक कोणों द्वारा ज्ञात समकोण के बराबर हो. वह कोण जिसके मानों का योग 90° के बराबर हो तो कोणों का युग्म पूरक कोण कहलाता है. आप उपरोक्त आकृति में पूरक कोण देख सकते हैं जिसमें दो कोण समकोण बनाते हैं.

पूरक कोण परिभाषा

पूरक कोणों को दो कोणों के युग्म के रूप में परिभाषित किया जाता है जिनके मानों का योग 90° के बराबर होता है. दोनों कोणों के मान 90° का समकोण बनाते हैं.

दो कोणों को पूरक कोण कहा जाता है यदि उनका योग 90° के बराबर हो. यह पूरक कोणों के लिए एक बहुत ही आवश्यक मानदंड है. उपरोक्त आकृति में कोण AOC और BOC जिनका मान 30° और 60°, 40° और 50°, 65° और 25°, 48° और 42° के क्रम में है, और इसी तरह उनका योग 90° होगा. वे कोण जो पूरक कोणों का युग्म बनाते हैं, एक दूसरे के पूरक कहलाते हैं.

संपूरक कोण

जैसा कि हमने चर्चा की है कि जब किन्हीं दो कोणों के मानों का योग समकोण बनाता है, पूरक कोण कहलाते हैं. जो कोण एक दूसरे के पूरक कोणों की एक जोड़ी बनाते हैं, एक दूसरे के पूरक कहलाते हैं. निम्नलिखित दो प्रकार के पूरक कोण हैं जिन पर विस्तार से चर्चा की गई है.

  • आसन्न पूरक कोण
  • गैर-आसन्न पूरक कोण

आसन्न पूरक कोण

एक उभयनिष्ठ भुजा और शीर्ष वाले कोणों के युग्म आसन्न पूरक कोण कहलाते हैं. नीचे दी गई आकृति में दिखाया गया है कि कोणों में AOC और BOC की भुजा और शीर्ष समान हैं जो आसन्न पूरक कोण हैं.

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गैर-आसन्न पूरक कोण

दो पूरक कोणों का युग्म जो एक दूसरे से सटे नहीं होते हैं, असंबद्ध पूरक कोण कहलाते हैं. इसकी कोई उभयनिष्ठ भुजा और शीर्ष नहीं है लेकिन दोनों कोणों का योग हमेशा 90° होना चाहिए. गैर-आसन्न पूरक कोण नीचे दिए गए चित्र में दिखाए गए हैं.

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उपरोक्त आकृति के कोणों में, XYZ और ABC पूरक कोण हैं क्योंकि उनका योग 90° के बराबर है.

पूरक कोण और संपूरक कोण

पूरक और संपूरक कोणों की पहचान दो कोणों के योग के आधार पर की जाती है. यदि दो कोणों का योग 90° है तो इसे पूरक कोण कहते हैं और यदि दो कोणों के योग का मान 180° हो तो इसे संपूरक कोण कहते हैं. इन सभी कोणों का आधार कोण माप है. कोणों का वह युग्म जो संपूरक कोण बनाता है जिनका मान 180° के बराबर होता है, एक दूसरे के पूरक कहलाते हैं. सभी दो संपूरक कोणों को मिलाने पर हमें एक सीधी रेखा प्राप्त होगी. पूरक कोणों और संपूरक कोणों को नीचे दिए गए चित्र के माध्यम से समझा जा सकता है.

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उपरोक्त आकृति में पूरक कोणों और संपूरक कोणों दोनों के बीच का अंतर देखा जा सकता है. आम तौर पर, वे दोनों एक दूसरे के विपरीत होते हैं.

पूरक कोण उदाहरण

पूरक कोण वे कोण हैं जिनके मानों का योग एक समकोण देता है अर्थात 90. पूरक कोणों के जोड़े जिनका मान 90° के बराबर हो जाता है, एक दूसरे के पूरक होते हैं. पूरक कोण 30° और 60°, 40° और 50°, 55° और 35°, आदि के क्रम में हो सकते हैं. पूरक कोणों के उदाहरण नीचे दिखाए गए हैं.

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उपरोक्त आकृति में, एक कोण 38° दिया गया है और दूसरा कोण लुप्त है, हमें कोण x का मान ज्ञात करने की आवश्यकता है

हम जानते हैं कि दो पूरक कोणों का योग 90° होता है

तो, x + 38° = 90°, x = 52°

कोण x का मान 52° है.

आप कोणों के गुणों का उपयोग करके अन्य कोणों के मान भी पा सकते हैं.

त्रिकोणमिति में पूरक कोण

त्रिकोणमिति में, पूरक कोणों के कई अनुप्रयोग हैं. त्रिकोणमितीय अनुपात को पूरक कोणों का उपयोग करके पाया जा सकता है.

मान लीजिये ABC एक समकोण त्रिभुज, जिसमें B समकोण है

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A और C एक पूरक जोड़ी बनाते हैं.

⇒ ∠A + ∠C = 90°

न्यून कोण और लंबी लंबाई वाली भुजा के बीच संबंध समकोण त्रिभुज का उपयोग करके पाया जा सकता है जिसे त्रिकोणमितीय अनुपात द्वारा व्यक्त किया जाता है. दिए गए समकोण त्रिभुज के लिए,  A का त्रिकोणमितीय अनुपात निम्नानुसार दिया गया है:

sin A = BC/AC

cos A = AB/AC

tan A =BC/AB

csc A = 1/sin A = AC/BC

sec A =1/cos A = AC/AB

cot A = 1/tan A = AB/BC

∠A के पूरक का त्रिकोणमितीय अनुपात.इसका अर्थ है कि ∠C को 90° – ∠A के रूप में दिया जा सकता है

जैसा कि C = 90°-A, और 90°-A के विपरीत भुजा AB है और कोण 90°-A से लगी भुजा BC है, जैसा कि ऊपर दिखाए गए चित्र में दिखाया गया है.

sin (90°- A) = AB/AC

cos (90°- A) = BC/AC

tan (90°- A) = AB/BC

csc (90°- A) =1/sin (90°- A) = AC/AB

sec (90°- A) = 1/cos (90°- A) = AC/BC

cot (90°- A) = 1/tan (90°- A)  = BC/AB

त्रिकोणमितीय अनुपातों के उपरोक्त सेट की तुलना करने पर निम्नलिखित संबंध भी निर्धारित किए जा सकते हैं:

sin (90°- A) = cos A ; cos (90°- A) = sin A

tan (90°- A) = cot A; cot (90°- A) = tan A

sec (90°- A) = csc A; CSC (90°- A) = sec A

ये संबंध A के उन सभी मानों के लिए मान्य हैं जो 0° और 90° के बीच स्थित हैं.

Complementary Angles: Solved Examples

1. Find the complement of the angle 2/3 of 90°.

Solution: 2/3 of 90° = 60°

Complement of 60° = 90° – 60° = 30°

Therefore, the complement of the angle 2/3 of 90° = 30°

2. The values of two complementary angles are (2x – 7)° and (x + 4)°. Find the value of x.

Solution: According to the problem, (2x – 7)° and (x + 4)°, are complementary angles’ so we get;

(2x – 7)° + (x + 4)° = 90°

or, 2x – 7° + x + 4° = 90°

or, 2x + x – 7° + 4° = 90°

or, 3x – 3° = 90°

or, 3x – 3° + 3° = 90° + 3°

or, 3x = 93°

or, x = 93°/3°

or, x = 31°

Therefore, the value of x = 31°.

3. Find the supplement of the angle 4/5 of 90°.

Solution: 4/5 of 90°

4/5 × 90° = 72°

Supplement of 72° = 180° – 72° = 108°

Therefore, as a supplement the angle 4/5 of 90° = 108°

4. The values of two supplementary angles are (3x + 15)° and (2x + 5)°. Find the value of x.

Solution: According to the given problem, (3x + 15)° and (2x + 5)°, are complementary angles’ so we get;

(3x + 15)° + (2x + 5)° = 180°

or, 3x + 15° + 2x + 5° = 180°

or, 3x + 2x + 15° + 5° = 180°

or, 5x + 20° = 180°

or, 5x + 20° – 20° = 180° – 20°

or, 5x = 160°

or, x = 160°/5°

or, x = 32°

Therefore, the value of x = 32°.

5. If one complementary angle is 49° and the other complementary angle is x° then find the value of angle x.

Solution: We know that the sum of two complementary angles ais90°

we have 49° + x = 90°

then x = 90° – 49°

x = 41°

6. If one of the supplementary angles measures 32° while the other is angle P° then find the value of angle P.

Solution: We know that the sum of two supplementary angles is equal to 180°

then according to the given problem       32° + P° = 180°

P° = 180° – 32°

P° = 148°

7. The difference between the two given complementary angles is 180°. Find the measure of the angle.

Solution: Let one angle be of measure x°.

Then complement of x° = (90 – x)

Difference = 18°

Therefore, (90° – x) – x = 18°

or, 90° – 2x = 18°

or, 90° – 90° – 2x = 18° – 90°

or, -2x = -72°

or, x = 72°/2°

or, x = 36°

Also, 90° – x

= 90° – 36°

= 54°.

Therefore, the two angles are 36°, and 54°

8. POQ is a straight line and OS stands on PQ. Find the value of x and the measure of ∠ POS, ∠ SOR, and ∠ ROQ.

Solution:

POQ is a straight line.

Therefore, ∠POS + ∠SOR + ∠ROQ = 180°

(5x + 4°) + (x – 2°) + (3x + 7°) = 180°

or, 5x + 4° + x – 2° + 3x + 7° = 180°

or, 5x + x + 3x + 4° – 2° + 7° = 180°

or, 9x + 9° = 180°

or, 9x + 9° – 9° = 180° – 9°

or, 9x = 171°

or, x = 171/9

or, x = 19°

Put the value of x = 19°

Therefore, x – 2

= 19 – 2

= 17°

Again, 3x + 7

= 3 × 19° + 7°

= 570 + 7°

= 64°

And again, 5x + 4

= 5 × 19° + 4°

= 95° + 4°

= 99°

Therefore, the measure of the three angles is 17°, 64°, and 99°.

9. The measure of an angle is 3/4 of 60°. What is the measure of the complementary angle? 

Solution: Let x be the measure of a complementary angle required.

Given: The measure of an angle is 3/4 of 60°

3/4 ⋅ 60°  =  45°

Since x and 45° are complementary angles, we have

x + 45  =  90

Subtract 45° from each side.

x  =  45

So, the measure of the complementary angle is 45°.

10. Two angles are supplementary. If one angle is 36° less than two of the other angle, find the two angles. 

Solution: Consider x and y to the two angle that are supplementary.

x + y  =  180° —–>(1)

As per the question “one angle is 36

Given that One angle is 36° less than twice the other angle.

Then,

x  =  2y – 36 —–>(2)

Now substitute (2y – 6) for x in (1),

(1)—–> 2y – 36 + y  =  180

3y – 36  =  180

Add 36 to each side.

3y  =  216

Divide each side by 3.

y  =  72

Now, Substitute 72 for y in (2).

(2)—–> x  =  2(72) – 36

x  =  144 – 36

x  =  108

So, the two angles are 108° and 72°.

पूरक कोण: FAQs

Que.1 पूरक कोण क्या हैं?

Ans – 90° के योग वाले कोणों के युग्म पूरक कोण कहलाते हैं और दोनों कोण एक दूसरे के पूरक कहलाते हैं.

Que.2 संपूरक कोणों को परिभाषित कीजिए ?

Ans – जिन कोणों के कोणों का योग 180° होता है, उन्हें संपूरक कोण कहते हैं. इन कोणों को बनाने वाले दोनों कोण संपूरक कोण कहलाते हैं.

Que.3 वैकल्पिक और गैर-वैकल्पिक पूरक कोण क्या हैं?

Ans – एक ही भुजा और शीर्ष वाले कोणों को आसन्न पूरक कोण कहा जाता है जबकि अलग-अलग शीर्ष वाले कोणों को गैर-वैकल्पिक पूरक कोण कहा जाता है.

Que.4 पूरक कोणों और संपूरक कोणों का योग कितना होता है?

Ans – पूरक कोणों का योग 90° तथा संपूरक कोणों का योग 180° होता है.

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