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Algebra Formula, Types, Expressions, Identities and Operations (सूत्र, प्रकार, व्यंजक, सर्वसमिकाएँ और संक्रियाएं)

Algebra Formula in Hindi

Formula of Algebra:बीजगणित, गणित की एक शाखा है जो संख्या सिद्धांत, ज्यामिति और विश्लेषण से संबंधित है। बीजगणित की परिभाषा कहती है, कि गणितीय प्रतीकों और नियमों के अध्ययन में इन गणितीय प्रतीकों का हेरफेर करना शामिल है। बीजगणित में प्राथमिक समीकरणों को हल करने से लेकर पृथक्करण के अध्ययन तक लगभग सभी चीजें शामिल हैं। बीजगणित सभी प्रतियोगी परीक्षाओं के लिए अधिक से अधिक टॉपिक को हल करने के लिए बहुत महत्वपूर्ण है जिसमें इम्प्लिकेशन, गुणा, भाग, घटाव और जोड़ शामिल हैं।

इस आर्टिकल में, हम आपको गणित में बीजगणित के सूत्र, बीजगणित के व्यंजक, बीजगणितीय सर्वसमिकाएँ, बीजगणित कैलकुलेटर और बीजगणित के बारे में विस्तृत जानकारी प्रदान कर रहे हैं। बीजगणित के सूत्र से संबंधित अधिक जानकारी के लिए विस्तृत लेख पढ़ें।

Types of Algebra/ बीजगणित के प्रकार

बीजगणित को निम्नलिखित भागों में विभाजित किया जाता है, जो बीजगणित की जटिलता पर आधारित होते हैं जिसे अनेक बीजीय व्यंजकों के प्रयोग से सरल बनाया जाता है। बीजगणित की शाखाएँ हैं:

  • पूर्व-बीजगणित: यह वास्तविक जीवन की समस्याओं को गणित में बीजीय व्यंजक में बदलने में मदद करता है।
  • प्राथमिक बीजगणित: एक व्यवहार्य उत्तर के लिए प्राथमिक बीजगणित बीजीय व्यंजकों को हल करने से संबंधित है। प्रारंभिक बीजगणित में, x, और y जैसे सरल चरों को समीकरण के रूप में दर्शाया जाता है।
  • एब्सट्रक्ट बीजगणित: एब्सट्रक्ट बीजगणित सरल गणितीय संख्या प्रणालियों के बजाय समूहों, रिंग और वैक्टर जैसी एब्सट्रक्ट अवधारणाओं के उपयोग से संबंधित है।
  • सार्वभौम बीजगणित: बीजगणितीय व्यंजकों को शामिल करते हुए त्रिकोणमिति, कलन, और निर्देशांक ज्यामिति वाले अन्य सभी गणितीय रूपों को सार्वभौम बीजगणित कहा जा सकता है।

Algebra Expressions/ बीजगणित व्यंजक

बीजगणित व्यंजक एक व्यंजक है जो बीजीय संक्रियाओं (जोड़, घटाव, आदि) के साथ चर और स्थिरांक से बना होता है। बीजीय व्यंजक तीन प्रकार के होते हैं अर्थात:-

Monomial Expression/एकपदीय व्यंजक

एक बीजीय व्यंजक जिसमें केवल एक पद होता है, एकपदी कहलाता है।

एकपदी व्यंजक के उदाहरणों में शामिल हैं: 2x4, 4xy, 6x, 8y, इत्यादि

Binomial Expression/द्विपदीय व्यंजक

द्विपद व्यंजक एक बीजीय व्यंजक है जिसमें दो पद होते हैं, जो असमान होते हैं।

द्विपद के उदाहरणों में शामिल हैं: 4xy + 9, Xyz + y3, इत्यादि

Polynomial Expression/बहुपदीय व्यंजक

एक चर के गैर-ऋणात्मक अभिन्न घातांक वाले एक से अधिक पदों वाला व्यंजक बहुपद कहलाता है।

बहुपद व्यंजक के उदाहरणों में शामिल हैं ax by ca,  2x3 + 3x + 6, इत्यादि

Formula of Algebra/बीजगणित का सूत्र

Formula of Algebra: बीजगणित अक्षरों और संख्याओं का एक संयोजन है जिसका उपयोग किसी भी अज्ञात मात्रा को खोजने के लिए किया जाता है. जब संख्याओं, अक्षरों, आव्यूहों और सदिशों का संयुक्त रूप से उपयोग किया जाता है तो एक बीजीय समीकरण या व्यंजक बनता है. बीजगणितीय व्यंजक में वह संख्या जिसके मान ज्ञात हैं और अक्षर जिनके मान अज्ञात हैं. संख्याओं के बजाय अक्षरों का उपयोग किया जाता है और अज्ञात मात्राओं के मूल्यों को खोजने के लिए सूत्रों का उपयोग किया जाता है.

बीजगणित सभी परीक्षाओं के लिए एक बहुत ही महत्वपूर्ण अध्याय है. छात्रों को बीजगणित के प्रश्नों के साथ कुछ समस्याओं का सामना करना पड़ा,उनके लिए यह लेख अवश्य सहायक होगा. यहां हम बीजगणित के कुछ महत्वपूर्ण सूत्रों की सूची का उल्लेख करने जा रहे हैं जो छात्रों को उनकी परीक्षा की तैयारी करने में मदद करते हैं.

  • a² – b² = (a-b)(a+b)
  • (a+b)² = a² + 2ab + b²
  • (a-b)² = a² – 2ab + b²
  • a² + b² = (a-b)² +2ab
  • (a+b+c)² = a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc
  • (a-b-c)² = a²+b²+c²-2ab-2ac+2bc
  • a³-b³ = (a-b) (a² + ab + b²)
  • a³+b³ = (a+b) (a² – ab + b²)
  • (a+b)³ = a³+ 3a²b + 3ab² + b³
  • (a-b)³ = a³- 3a²b + 3ab² – b³
  • “n” is a natural number, and – bn = (a-b) (an-1 + an-2b +….bn-2a + bn-1)
  • “n” is an even number, an + bn = (a+b) (an-1 – an-2b +….+ bn-2a – bn-1)
  • “n” is an odd number an + bn = (a-b) (an-1 – an-2b +…. – bn-2a + bn-1)
  • (am)(an) = am+n (ab)m = amn

Algebraic Identities/बीजगणितीय सर्वसमिकाएँ

वे बीजीय समीकरण जो चरों के सभी मानों को संतुष्ट करते हैं, बीजीय सर्वसमिकाएँ कहलाती हैं. बीजीय सर्वसमिकाएँ चरों के सभी मानों के लिए मान्य होनी चाहिए. बीजगणितीय पहचान गणित के भाव हैं जिनमें संख्याएं, चर (अज्ञात मान), और गणितीय संचालन (जोड़, घटाव, गुणा और भाग) शामिल हैं. जटिल प्रश्नों को आसानी से हल करने के लिए बीजगणितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग ज्यामिति, बीजगणित, त्रिकोणमिति और अन्य अध्यायों में किया जाता है.

Algebraic Operations/बीजगणितीय संक्रियाएं

चार बीजीय संक्रियाएँ हैं जिनका उपयोग अधिकतर बीजीय व्यंजकों को हल करने के लिए किया जाता है। बीजगणित कैलकुलेटर मुख्य रूप से निम्नलिखित संक्रियाओं को हल करता है।

  • जोड़: बीजगणित में जोड़ संक्रिया में, दो या दो से अधिक व्यंजकों को उनके बीच एक प्लस (+) चिह्न द्वारा अलग किया जाता है।
  • घटाव: बीजगणित में घटाव संक्रिया में, दो या दो से अधिक व्यंजकों को उनके बीच एक ऋण (-) चिह्न द्वारा अलग किया जाता है।
  • गुणन: बीजगणित में गुणन संक्रिया में, दो या दो से अधिक व्यंजकों को उनके बीच एक गुणन (×) चिह्न द्वारा अलग किया जाता है।
  • भाग: बीजगणित में डिवीजन संक्रिया में, दो या दो से अधिक व्यंजकों को उनके बीच “/” चिह्न से अलग किया जाता है।

Algebra Expressions/बीजगणित व्यंजक

जोड़ (+), घटाव (-), गुणा (×), और भाग (÷) जैसी किसी भी बुनियादी गणितीय संक्रिया से जुड़ी संख्याओं और अक्षरों का संयोजन एक बीजीय व्यंजक बनाता है. बीजगणितीय व्यंजकों का उपयोग विभिन्न अनुप्रयोगों में अज्ञात मात्राओं के मान ज्ञात करने के लिए किया जाता है. बीजीय व्यंजकों के उदाहरण हैं 4x + 2y + 5, 2y + 3, 2x + 3y + z, आदि बीजीय व्यंजकों की मात्रा के आधार पर वे निम्नलिखित तीन प्रकार के होते हैं:

Algebra Calculator/बीजगणित कैलकुलेटर

बीजगणित कैलकुलेटर में, दिए गए व्यंजक के मूल्यों की गणना के लिए बीजीय व्यंजकों और बीजीय समीकरणों का उपयोग किया जाता है. प्रश्नों को हल करने के लिए इस्तेमाल की जाने वाली कार्यप्रणाली प्रश्नों के प्रकार, कई अज्ञात, कई चर, आदि पर आधारित होती है. बीजगणित पर आधारित प्रश्नों को हल करने के लिए छात्रों को अधिक से अधिक अभ्यास करना चाहिए.

Algebra Questions/बीजगणित प्रश्न

बीजगणित पर आधारित महत्वपूर्ण और उपयोगी प्रश्न नीचे दिए गए हैं. ये बीजगणित प्रश्न छात्रों के लिए परीक्षा की तैयारी में मदद करेंगे और अच्छे अंकों के साथ परीक्षा में सफलता प्राप्त करने में सहायक होंगे. यहाँ बीजगणित प्रश्नों के कुछ उदाहरण दिए गए हैं.

1. Evaluate (x-1)2 = [4√(x-4)]2

Solution: x2-2x+1 = 16(x-4)

x2-2x+1 = 16x-64

x2-18x+65 = 0

(x-13) (x-5) = 0

Hence, x = 13 and x = 5

2. Solve the expression, 4x + 5 when x = 3.

Solution: Given, 4x + 5

Now putting the value of x=3, we get;

4 (3) + 5 = 12 + 5 = 17

3. There are 47 boys in the class. This is three more than four times the number of girls. How many girls are there in the class?

Solution: Let the number of girls be x

As per the given statement,

4 x + 3 = 47

4x = 47 – 3

x = 44/4

x = 11

4. The sum of two consecutive numbers is 41. What are the numbers?

Solution: Let one of the numbers be x.

Then the other number will x+1

Now, as per the given questions,

x + x + 1 = 41

2x + 1 = 41

2x = 40

x = 20

So, the first number is 20 and the second number is 20+1 = 21

5. A number is increased by 2 and then multiplied by 3. The result is 24. What is this number?

Solution:

Let the number be x:

This number is increased by 2: x + 2

Then, it is multiplied by 3: 3(x + 2)

The result is 24: 3(x + 2) = 24 … Solving this linear equation, we obtain the value of the number:

3(x + 2)/3 = 24 /3   Divide both sides by 3 and cancel  out

x + 2 = 24 / 3

x + 2 = 8

x = 8 – 2   – 2 crosses the equal sign so negative

x = 6

6. Solve (2x+y)2

Solution: Using the identity: (a+b)= a2 + b2 + 2 abs, we get;

(2x+y) = (2x)2 + y2 + 2.2x.y = 4x2 + y2 + 4xy

7. Solve (99)2 using the algebraic identity.

Solution: We can write, 99 = 100 -1

Therefore, (100 – 1 )2

= 1002 + 12 – 2 x 100 x 1  [By identity: (a -b)2 = a2 + b2 – 2ab

= 10000 + 1 – 200

= 9801

8. Solve 5 (- 3 x – 2) – (x – 3) = – 4 (4 x + 5) + 13

Solution: 
5 (- 3 x – 2) – (x – 3) = – 4 (4 x + 5) + 13

On simplify
-15 x – 10 – x + 3 = – 16 x – 20 + 13
Grouping the above terms
– 16 x – 7 = – 16 x – 7

Add 16x + 7 to both sides of the equation then the equation will be

0 = 0

The above statement is true for all the values of x and therefore all real numbers can be a solution to the given equation.

9. Solve 2 (a -3) + 4 b – 2 (a – b – 3) + 5
Solution:
Given an algebraic expression
2 (a -3) + 4 b – 2 (a – b – 3) + 5
On multiplying factors
= 2 a – 6 + 4 b – 2 a + 2 b + 6 + 5
On grouping the like terms
= 6 b + 5

10. Solve the expression 4x + 2 (3+6) = 0

Solution: Given an algebraic expression

4x + 2 (3+6) = 0

On solving

4x + 18 = 0

4x = -18

x = -18/4 = -4.5

Formula of Algebra/ बीजगणित के सूत्र: FAQ

Q. बीजगणित की 4 मुख्य संक्रियाएं क्या हैं?

Ans: बीजगणित की चार मुख्य संक्रियाएं जोड़, घटाव, गुणा और भाग हैं।

Q. बीजगणित की विभिन्न शाखाएँ या प्रकार क्या हैं?

Ans: बीजगणित की पाँच अलग-अलग शाखाएँ या प्रकार हैं जो प्राथमिक बीजगणित, अमूर्त बीजगणित, उन्नत बीजगणित, क्रमपरिवर्तनीय बीजगणित और रैखिक बीजगणित हैं।

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